Номер 4.15, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.15, страница 13.

Условие.

4.15 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (см. рис. 2):

а) B;

б) D;

в) B и D.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) B

В стандартном представлении числовой окружности точка B находится в верхней части (на оси ординат) и соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Чтобы найти все числа, соответствующие этой точке, нужно учесть, что мы можем совершить любое целое число полных оборотов по окружности и вернуться в ту же точку. Один полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Таким образом, к начальному значению угла $\frac{\pi}{2}$ нужно прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) D

Точка D на числовой окружности обычно расположена в нижней части (на оси ординат) и соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ радиан (или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$ радиан). Аналогично пункту а), все числа, соответствующие точке D, получаются путем добавления целого числа полных оборотов ($2\pi k$) к одному из этих значений. Удобнее использовать значение $-\frac{\pi}{2}$ как основное.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

в) B и D

Требуется найти единую формулу для чисел, соответствующих обеим точкам: B ($\frac{\pi}{2}$) и D ($-\frac{\pi}{2}$). Эти точки расположены на вертикальной оси и являются диаметрально противоположными. Расстояние между ними вдоль окружности составляет половину оборота, то есть $\pi$ радиан. Это означает, что если мы начнем с точки B (которой соответствует число $\frac{\pi}{2}$) и будем последовательно прибавлять по половине оборота ($\pi$), мы будем поочередно попадать в точку D, затем снова в B, и так далее.

Математически это можно записать так: взяв за основу точку B, мы добавляем $k$ раз по $\pi$ радиан. При четных $k$ (например, $k=0, 2, -2, ...$) мы будем попадать в точку B (например, $\frac{\pi}{2} + 2\pi$), а при нечетных $k$ (например, $k=1, 3, -1, ...$) — в точку D (например, $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$). Таким образом, формула охватывает обе серии точек.

Альтернативный способ рассуждения: точки B и D — это точки на единичной окружности, у которых абсцисса (координата x) равна нулю. Это соответствует решению тригонометрического уравнения $\cos(x) = 0$. Решениями этого уравнения являются все числа вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$