Номер 4.20, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.20, страница 13.

Условие.

4.20 а) $DM$;

б) $BD$;

в) $MD$;

г) $DB$.

($M'$ - середина второй четверти.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи будем рассматривать точки B, D и M как точки на единичной тригонометрической окружности. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла в радианах, который на нее опирается. Положительным направлением обхода окружности считается движение против часовой стрелки.

Определим углы, соответствующие заданным точкам в радианах:

Точка B, как правило, соответствует концу первой четверти (угол $90^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_B = \frac{\pi}{2}$.

Точка D, как правило, соответствует концу третьей четверти (угол $270^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_D = \frac{3\pi}{2}$.

По условию, точка M — середина второй четверти. Вторая четверть — это дуга от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $\pi$. Угол, соответствующий середине этой дуги, равен среднему арифметическому ее концов: $t_M = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

Длина дуги, например, от точки X к точке Y (обозначается как XY), вычисляется как разность их угловых координат $(t_Y - t_X)$. Если результат отрицательный, к нему нужно прибавить $2\pi$ (полный оборот), чтобы получить положительную длину дуги в пределах от $0$ до $2\pi$.

а) DM

Находим длину дуги от точки D до точки M, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Угол конечной точки M: $t_M = \frac{3\pi}{4}$. Длина дуги DM равна разности углов $t_M - t_D$: $L_{DM} = \frac{3\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$. Так как длина дуги не может быть отрицательной, прибавляем $2\pi$: $L_{DM} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$

б) BD

Находим длину дуги от точки B до точки D, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки B: $t_B = \frac{\pi}{2}$. Угол конечной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Длина дуги BD равна разности углов $t_D - t_B$: $L_{BD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это половина окружности.

Ответ: $\pi$

в) MD

Находим длину дуги от точки M до точки D, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки M: $t_M = \frac{3\pi}{4}$. Угол конечной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Длина дуги MD равна разности углов $t_D - t_M$: $L_{MD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

г) DB

Находим длину дуги от точки D до точки B, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Угол конечной точки B: $t_B = \frac{\pi}{2}$. Длина дуги DB равна разности углов $t_B - t_D$: $L_{DB} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{2\pi}{2} = -\pi$. Прибавляем $2\pi$ для получения положительного значения: $L_{DB} = -\pi + 2\pi = \pi$. Это также половина окружности.

Ответ: $\pi$