Номер 5.4, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.4, страница 14.

5.4 a) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

б) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right);$

г) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right).$

а) Для точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$ на единичной окружности ее координаты связаны с углом поворота $\alpha$ формулами $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Таким образом, необходимо найти угол $\alpha$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Поскольку обе координаты положительны, точка находится в I координатной четверти. Этим условиям соответствует основной угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Множество всех углов, соответствующих данной точке, можно записать в виде общей формулы.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для точки $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что точка находится во II координатной четверти. Опорным углом (острым углом, который радиус-вектор точки образует с осью Ox) является угол, для которого $\cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin = \frac{1}{2}$, то есть $\frac{\pi}{6}$. Угол во второй четверти, имеющий такой опорный угол, равен $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$. Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что точка находится в IV координатной четверти. Опорный угол также равен $\frac{\pi}{6}$. Угол в четвертой четверти можно найти как $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ или, что эквивалентно, как отрицательный угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для точки $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$. Оба значения отрицательны, что означает, что точка находится в III координатной четверти. Опорный угол по-прежнему $\frac{\pi}{6}$. Угол в третьей четверти, имеющий такой опорный угол, равен $\alpha = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.