Номер 5.5, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.5, страница 14.

5.5 а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

в) $M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Данная задача сводится к нахождению угла $\alpha$, которому соответствует точка $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$ на единичной окружности.

а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как значения косинуса и синуса положительны, точка находится в первой координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Общее решение, учитывающее периодичность тригонометрических функций, записывается как:
$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как косинус отрицателен, а синус положителен, точка находится во второй координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как и косинус, и синус отрицательны, точка находится в третьей координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{4\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как косинус положителен, а синус отрицателен, точка находится в четвертой координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{5\pi}{3}$. Этот угол также можно записать как $-\frac{\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.