Номер 5.12, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §5. Числовая окружность на координатной плоскости - номер 5.12, страница 15.

Условие.

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности:

5.12 а) $E(2)$;

б) $K(-4)$;

в) $F(-1)$;

г) $L(6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для определения знаков абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) точки на числовой окружности необходимо определить, в какой координатной четверти эта точка расположена. Точка на числовой окружности, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(\cos t, \sin t)$. Знак абсциссы совпадает со знаком $\cos t$, а знак ординаты — со знаком $\sin t$.

Вспомним знаки координат по четвертям:

I четверть ($0 < t < \frac{\pi}{2}$): абсцисса $x>0$ (+), ордината $y>0$ (+).

II четверть ($\frac{\pi}{2} < t < \pi$): абсцисса $x<0$ (-), ордината $y>0$ (+).

III четверть ($\pi < t < \frac{3\pi}{2}$): абсцисса $x<0$ (-), ордината $y<0$ (-).

IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$): абсцисса $x>0$ (+), ордината $y<0$ (-).

Для определения четверти будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

а) E(2)

Для точки $E(2)$ число $t=2$. Так как $1.57 < 2 < 3.14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, точка находится во второй четверти. Во II четверти абсцисса отрицательна (-), а ордината положительна (+).

Ответ: абсцисса: -, ордината: +.

б) K(-4)

Для точки $K(-4)$ число $t = -4$. Отрицательное значение означает движение по часовой стрелке. Чтобы определить четверть, можно найти эквивалентное положительное значение угла, прибавив $2\pi$: $t' = -4 + 2\pi \approx -4 + 6.28 = 2.28$. Так как $1.57 < 2.28 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2.28 < \pi$, точка находится во второй четверти. Во II четверти абсцисса отрицательна (-), а ордината положительна (+).

Ответ: абсцисса: -, ордината: +.

в) F(-1)

Для точки $F(-1)$ число $t = -1$. Это движение по часовой стрелке. Так как $-1.57 < -1 < 0$, что соответствует неравенству $-\frac{\pi}{2} < -1 < 0$, точка находится в четвертой четверти. В IV четверти абсцисса положительна (+), а ордината отрицательна (-).

Ответ: абсцисса: +, ордината: -.

г) L(6)

Для точки $L(6)$ число $t = 6$. Так как $4.71 < 6 < 6.28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти. В IV четверти абсцисса положительна (+), а ордината отрицательна (-).

Ответ: абсцисса: +, ордината: -.