Номер 5.7, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.7, страница 15.

5.7 а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y = 1$;

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y = -1$.

Поскольку в задании даны только значения для y, будем предполагать, что требуется найти все значения аргумента x, для которых выполняется тригонометрическое уравнение $cos(x) = y$. Это стандартная задача при изучении тригонометрических функций.

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решения уравнения вида $cos(x) = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти значение арккосинуса этого числа, то есть $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Воспользуемся свойством арккосинуса для отрицательных аргументов: $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$.

Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 1$

Необходимо решить уравнение $cos(x) = 1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Мы ищем углы, косинус которых равен 1. На единичной окружности это соответствует точке с координатами (1, 0), что достигается при углах $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ и так далее в обоих направлениях.

Таким образом, общее решение можно записать в виде $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если использовать общую формулу $x = \pm arccos(1) + 2\pi n$ и учесть, что $arccos(1) = 0$, мы получим тот же результат: $x = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим значение $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Используя свойство $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -1$

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -1$.

Это еще один частный случай. Косинус равен -1 в точках на единичной окружности с абсциссой -1. Это соответствует точке с координатами (-1, 0), что достигается при углах $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ и так далее.

Общее решение можно записать в виде $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если применить общую формулу $x = \pm arccos(-1) + 2\pi n$ и учесть, что $arccos(-1) = \pi$, получим $x = \pm\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Множества решений для $+\pi$ и $-\pi$ совпадают (например, $-\pi + 2\pi(1) = \pi$), поэтому для краткости и однозначности решение записывается как $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.