Номер 6.4, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.4, страница 16.

6.4 a) $t = -\frac{7\pi}{4}$;

б) $t = -\frac{4\pi}{3}$;

В) $t = -\frac{5\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{5\pi}{3}$.

а) $t = -\frac{7\pi}{4}$

Чтобы найти значения тригонометрических функций для угла $t = -\frac{7\pi}{4}$, мы можем найти соответствующий ему котерминальный угол, который лежит в промежутке от $0$ до $2\pi$. Для этого прибавим к данному углу $2\pi$ (полный оборот), так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$ (или $\pi$ для тангенса и котангенса).

$t' = -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Значения тригонометрических функций для угла $-\frac{7\pi}{4}$ совпадают со значениями для угла $\frac{\pi}{4}$. Этот угол находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

$\cos(-\frac{7\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{7\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cot(-\frac{7\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan t = 1, \cot t = 1$.

б) $t = -\frac{4\pi}{3}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен, а синус положителен. Опорный угол (угол, который вектор составляет с осью Ox) равен $\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sin(2\pi/3)}{\cos(2\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

$\cot(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\tan(-4\pi/3)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\cos t = -\frac{1}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan t = -\sqrt{3}, \cot t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $t = -\frac{5\pi}{6}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Опорный угол равен $\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$.

$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sin(7\pi/6)}{\cos(7\pi/6)} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{\tan(-5\pi/6)} = \sqrt{3}$

Ответ: $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin t = -\frac{1}{2}, \tan t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cot t = \sqrt{3}$.

г) $t = -\frac{5\pi}{3}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Значения тригонометрических функций для угла $-\frac{5\pi}{3}$ совпадают со значениями для угла $\frac{\pi}{3}$. Этот угол находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

$\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{5\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\cot(-\frac{5\pi}{3}) = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\cos t = \frac{1}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan t = \sqrt{3}, \cot t = \frac{\sqrt{3}}{3}$.