Номер 6.11, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.11, страница 17.

6.11 Докажите тождество:

a) $ \sin t \cdot \cot t = \cos t $;

б) $ \frac{\sin t}{\tan t} = \cos t $;

в) $ \cot t \cdot \tan t = \sin t $;

г) $ \frac{\cos t}{\cot t} = \sin t $.

а)

Чтобы доказать тождество $ \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \cos t $, преобразуем его левую часть.
Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим это определение в левую часть равенства:
$ \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $
Сократим $ \sin t $ в числителе и знаменателе (это допустимо, так как для существования $ \operatorname{ctg} t $ необходимо, чтобы $ \sin t \neq 0 $):
$ \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin t} = \cos t $
В результате преобразования левая часть стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} = \cos t $, преобразуем его левую часть.
Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Подставим это определение в знаменатель левой части:
$ \frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
$ \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $
Сократим $ \sin t $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $, иначе $ \operatorname{tg} t = 0 $ и деление на ноль невозможно):
$ \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin t} = \cos t $
Левая часть стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: Тождество доказано.

в)

Рассмотрим левую часть равенства $ \operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $.
По определению, $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Их произведение является основным тригонометрическим тождеством:
$ \operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 1 $ (при $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).
Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $ 1 = \sin t $. Это равенство не является тождеством, так как оно верно лишь для конкретных значений $ t $ (например, $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $), а не для всех допустимых значений переменной.
Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду тождество $ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $. Докажем его.
Преобразуем левую часть:
$ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $
Сокращая на $ \cos t $ (при $ \cos t \neq 0 $), получаем:
$ \sin t $
Левая часть равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Вероятно, имелось в виду тождество $ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $, которое было доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t $, преобразуем левую часть выражения.
Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим его в знаменатель дроби:
$ \frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} $
Преобразуем многоэтажную дробь, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:
$ \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $
Сократим $ \cos t $ (при условии, что $ \cos t \neq 0 $, иначе $ \operatorname{ctg} t = 0 $ и деление на ноль невозможно):
$ \frac{\cos t \cdot \sin t}{\cos t} = \sin t $
Левая часть стала равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: Тождество доказано.