Номер 6.16, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.16, страница 18.

Решите уравнение:

6.16 а) $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \sin t = -\frac{1}{2} $;

в) $ \cos t = -\frac{1}{2} $;

г) $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

а) Дано уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos t = a$. Общее решение для такого уравнения записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число). В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно найти арккосинус этого значения. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Подставив это значение в общую формулу, получаем решение уравнения.
$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $sin t = -\frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin t = a$. Общая формула для решения такого уравнения: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$. Сначала найдем значение $\arcsin(-\frac{1}{2})$. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Табличное значение $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. Подставляем это значение в общую формулу: $t = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$. Это выражение можно записать в более удобном виде: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $cos t = -\frac{1}{2}$. Как и в пункте а), используем общую формулу для решения уравнения $cos t = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Табличное значение $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Теперь подставим найденное значение в общую формулу решения.
$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу для решения уравнения вида $sin t = a$: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом уравнении $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Подставляем это значение в общую формулу и получаем итоговое решение.
$t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.