Номер 6.23, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.23, страница 18.

6.23 а) $\sin 10$;

б) $\cos (-12)$;

в) $\sin (-15)$;

г) $\cos 8$.

а) Чтобы определить знак выражения $ \sin 10 $, необходимо установить, в какой координатной четверти находится угол, равный 10 радиан. Для этого сравним число 10 с ближайшими к нему значениями, кратными $ \pi/2 $, используя приближение $ \pi \approx 3,1416 $.

Найдем границы четвертей:

$ 3\pi \approx 3 \times 3,1416 = 9,4248 $

$ \frac{7\pi}{2} = 3,5\pi \approx 3,5 \times 3,1416 = 10,9956 $

Поскольку $ 9,4248 < 10 < 10,9956 $, то справедливо неравенство $ 3\pi < 10 < \frac{7\pi}{2} $. Углы в этом диапазоне соответствуют III координатной четверти. В III четверти значения синуса отрицательны.

Следовательно, $ \sin 10 < 0 $.

Ответ: $ \sin 10 < 0 $.

б) Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Таким образом, $ \cos(-12) = \cos(12) $. Теперь определим знак $ \cos(12) $.

Сравним число 12 с ближайшими к нему значениями, кратными $ \pi/2 $:

$ \frac{7\pi}{2} = 3,5\pi \approx 10,9956 $

$ 4\pi \approx 4 \times 3,1416 = 12,5664 $

Поскольку $ 10,9956 < 12 < 12,5664 $, то справедливо неравенство $ \frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi $. Углы в этом диапазоне соответствуют IV координатной четверти. В IV четверти значения косинуса положительны.

Следовательно, $ \cos(-12) > 0 $.

Ответ: $ \cos(-12) > 0 $.

в) Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $. Таким образом, $ \sin(-15) = -\sin(15) $. Знак выражения $ \sin(-15) $ будет противоположен знаку выражения $ \sin(15) $.

Определим знак $ \sin(15) $. Сравним число 15 с ближайшими к нему значениями, кратными $ \pi/2 $:

$ \frac{9\pi}{2} = 4,5\pi \approx 4,5 \times 3,1416 = 14,1372 $

$ 5\pi \approx 5 \times 3,1416 = 15,708 $

Поскольку $ 14,1372 < 15 < 15,708 $, то справедливо неравенство $ \frac{9\pi}{2} < 15 < 5\pi $. Углы в этом диапазоне соответствуют II координатной четверти. Во II четверти значения синуса положительны, т.е. $ \sin(15) > 0 $.

Так как $ \sin(-15) = -\sin(15) $, то $ \sin(-15) < 0 $.

Ответ: $ \sin(-15) < 0 $.

г) Чтобы определить знак выражения $ \cos 8 $, сравним число 8 с ближайшими к нему значениями, кратными $ \pi/2 $.

Найдем границы четвертей:

$ \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi \approx 2,5 \times 3,1416 = 7,854 $

$ 3\pi \approx 3 \times 3,1416 = 9,4248 $

Поскольку $ 7,854 < 8 < 9,4248 $, то справедливо неравенство $ \frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi $. Углы в этом диапазоне соответствуют II координатной четверти. Во II четверти значения косинуса отрицательны.

Следовательно, $ \cos 8 < 0 $.

Ответ: $ \cos 8 < 0 $.