Номер 6.28, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.28, страница 19.

6.28 a) $\sin^2 (1,5 + 2\pi k) + \cos^2 1,5 + \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos^2 \left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{8} - 44\pi\right).$

а) Для упрощения выражения $\sin^2(1,5 + 2\pi k) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

1. Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это значит, что $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $k$. Применяя это свойство к первому слагаемому, получаем:

$\sin(1,5 + 2\pi k) = \sin(1,5)$

Следовательно, $\sin^2(1,5 + 2\pi k) = \sin^2(1,5)$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Первые два слагаемых образуют основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В нашем случае $\alpha=1,5$, поэтому:

$\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5 = 1$.

3. Далее рассмотрим оставшиеся слагаемые. Функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому:

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Поэтому:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

5. Соберем все части вместе:

$(\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) + \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi)$.

1. Функции синус и косинус имеют период $2\pi$. Это означает, что добавление к аргументу или вычитание из него целого числа оборотов ($2\pi n$, где $n$ - целое) не изменяет значения функции.

2. Упростим первый член. Так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить $4\pi$ из аргумента косинуса:

$\cos(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos(\frac{\pi}{8})$.

Следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos^2(\frac{\pi}{8})$.

3. Упростим второй член. Так как $44\pi = 22 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить $44\pi$ из аргумента синуса:

$\sin(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin(\frac{\pi}{8})$.

Следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin^2(\frac{\pi}{8})$.

4. Подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

$\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8})$.

5. Это выражение является основным тригонометрическим тождеством $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Таким образом, $\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1$.

Ответ: $1$.