Номер 6.31, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.31, страница 19.

6.31 a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0;$

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1.$

а)

Дано уравнение: $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Для любого значения угла $x$ эта сумма равна единице.
В данном случае $x = \frac{\pi}{8}$, следовательно, $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$1 - \sqrt{2} \sin t = 0$
Теперь решим это уравнение относительно $\sin t$:
$\sqrt{2} \sin t = 1$
$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1$.
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
В данном случае $x = 1$ (угол задан в радианах), поэтому $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1$.
Подставим это значение в правую часть уравнения:
$\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = 1$
Упростим коэффициент перед $\cos t$:
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
Уравнение примет вид:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \cos t = 1$
Выразим $\cos t$:
$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.