Номер 6.38, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.38, страница 20.

6.38 Решите неравенство:

a) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x - 1) \ge 0;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 - 72) < 0;$

в) $(\operatorname{tg} 2 \sin 5) \cdot (7 - 5x) \le 0;$

г) $\operatorname{tg} 1 \operatorname{ctg} 2 \operatorname{tg} 3 \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0.$

а) Рассмотрим неравенство $\operatorname{ctg}5 \cdot (x - 1) \ge 0$.

Сначала определим знак коэффициента $\operatorname{ctg}5$. Угол 5 радиан находится в 4-й координатной четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$. В 4-й четверти котангенс (отношение косинуса к синусу) отрицателен, так как косинус положителен, а синус отрицателен. Следовательно, $\operatorname{ctg}5 < 0$.

Поскольку мы имеем дело с произведением, один из множителей которого является отрицательной константой, мы можем разделить обе части неравенства на эту константу, изменив знак неравенства на противоположный:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Решением является промежуток $(-\infty, 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{\operatorname{tg}7 \cos1}{\sin1} \cdot (2x^2 - 72) < 0$.

Определим знак коэффициента $C = \frac{\operatorname{tg}7 \cos1}{\sin1}$. Этот коэффициент можно переписать как $C = \operatorname{tg}7 \cdot \operatorname{ctg}1$.

Оценим знаки тригонометрических функций:

• Угол 1 радиан: $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$. Угол находится в 1-й четверти, где все тригонометрические функции положительны. Значит, $\operatorname{ctg}1 > 0$.
• Угол 7 радиан: $2\pi \approx 6.28$ и $2\pi + \pi/2 \approx 7.85$. Угол находится в 1-й четверти (после полного оборота), так как $2\pi < 7 < 2\pi + \pi/2$. Значит, $\operatorname{tg}7 > 0$.

Коэффициент $C$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, $C > 0$.

Так как коэффициент положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$2x^2 - 72 < 0$

$2(x^2 - 36) < 0$

$x^2 - 36 < 0$

$(x - 6)(x + 6) < 0$

Решением данного квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -6$ и $x = 6$.
Ответ: $x \in (-6, 6)$.

в) Рассмотрим неравенство $(\operatorname{tg}2 \sin5) \cdot (7 - 5x) \le 0$.

Определим знак коэффициента $C = \operatorname{tg}2 \sin5$.

• Угол 2 радиана: $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$. Угол находится во 2-й четверти, так как $\pi/2 < 2 < \pi$. Во 2-й четверти тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg}2 < 0$.
• Угол 5 радиан: $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$. Угол находится в 4-й четверти, так как $3\pi/2 < 5 < 2\pi$. В 4-й четверти синус отрицателен. Значит, $\sin5 < 0$.

Коэффициент $C$ является произведением двух отрицательных чисел, поэтому он положителен: $C = (\operatorname{tg}2) \cdot (\sin5) > 0$.

Так как коэффициент положителен, делим на него обе части неравенства, сохраняя знак:

$7 - 5x \le 0$

$7 \le 5x$

$\frac{7}{5} \le x$, или $x \ge 1.4$

Решением является промежуток $[1.4, +\infty)$.
Ответ: $x \in [1.4, +\infty)$.

г) Рассмотрим неравенство $\operatorname{tg}1 \operatorname{ctg}2 \operatorname{tg}3 \operatorname{ctg}4 \cdot (x^2 + 2) > 0$.

Определим знак коэффициента $C = \operatorname{tg}1 \operatorname{ctg}2 \operatorname{tg}3 \operatorname{ctg}4$.

• $\operatorname{tg}1$: $0 < 1 < \pi/2$ (1-я четверть), следовательно, $\operatorname{tg}1 > 0$.
• $\operatorname{ctg}2$: $\pi/2 < 2 < \pi$ (2-я четверть), следовательно, $\operatorname{ctg}2 < 0$.
• $\operatorname{tg}3$: $\pi/2 < 3 < \pi$ (2-я четверть), следовательно, $\operatorname{tg}3 < 0$.
• $\operatorname{ctg}4$: $\pi < 4 < 3\pi/2$ (3-я четверть), следовательно, $\operatorname{ctg}4 > 0$.

Знак коэффициента $C$ равен знаку произведения $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Таким образом, $C > 0$.

Теперь рассмотрим второй множитель $(x^2 + 2)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Это означает, что выражение $(x^2 + 2)$ всегда положительно.

Исходное неравенство имеет вид $(\text{положительное число}) \cdot (\text{положительное выражение}) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.