Номер 6.36, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.36, страница 20.

Решите неравенство (относительно переменной $x$):

6.36 a) $\cos 2 \cdot (2x - 1) < 0$;

б) $\cos 3 \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$.

а) $ \cos2 \cdot (2x - 1) < 0 $

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Множитель $ \cos2 $ является константой. Чтобы решить неравенство, нужно определить знак этой константы. Аргумент косинуса (2) задан в радианах.

Вспомним значения $ \pi $: $ \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Поскольку $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана лежит во второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, следовательно, $ \cos2 < 0 $.

Мы имеем произведение двух множителей, которое должно быть отрицательным. Так как первый множитель ($ \cos2 $) отрицателен, то второй множитель ($ 2x - 1 $) должен быть положительным, чтобы их произведение было отрицательным. $ 2x - 1 > 0 $

Можно прийти к этому же выводу, разделив обе части исходного неравенства на $ \cos2 $. Так как $ \cos2 < 0 $, то при делении на это число знак неравенства изменится на противоположный: $ \frac{\cos2 \cdot (2x - 1)}{\cos2} > \frac{0}{\cos2} $ $ 2x - 1 > 0 $

Решим полученное простое линейное неравенство: $ 2x > 1 $ $ x > \frac{1}{2} $

Решением является числовой промежуток $ (\frac{1}{2}; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; +\infty) $.

б) $ \cos3 \cos5 \cdot (x^2 - 4) < 0 $

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Множитель $ \cos3 \cos5 $ является постоянным коэффициентом. Для решения неравенства определим знак этого коэффициента. Аргументы косинусов (3 и 5) заданы в радианах.

1. Определим знак $ \cos3 $. Поскольку $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $. Угол в 3 радиана лежит во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, $ \cos3 < 0 $.

2. Определим знак $ \cos5 $. Поскольку $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, то $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Угол в 5 радиан лежит в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Значит, $ \cos5 > 0 $.

3. Определим знак произведения $ \cos3 \cos5 $. $ \cos3 \cdot \cos5 = (\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) < 0 $. Итак, коэффициент $ \cos3 \cos5 $ отрицателен.

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательный коэффициент $ \cos3 \cos5 $. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $ \frac{\cos3 \cos5 \cdot (x^2 - 4)}{\cos3 \cos5} > \frac{0}{\cos3 \cos5} $ $ x^2 - 4 > 0 $

Решим полученное квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $ (x - 2)(x + 2) > 0 $

Применим метод интервалов. Корни левой части: $ x = 2 $ и $ x = -2 $. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ее на три промежутка: $ (-\infty; -2) $, $ (-2; 2) $, $ (2; +\infty) $. Определим знак выражения $ (x - 2)(x + 2) $ в каждом промежутке:

• При $ x \in (2; +\infty) $, например $ x=3 $: $ (3-2)(3+2) = 1 \cdot 5 = 5 > 0 $. Промежуток подходит.
• При $ x \in (-2; 2) $, например $ x=0 $: $ (0-2)(0+2) = -2 \cdot 2 = -4 < 0 $. Промежуток не подходит.
• При $ x \in (-\infty; -2) $, например $ x=-3 $: $ (-3-2)(-3+2) = -5 \cdot (-1) = 5 > 0 $. Промежуток подходит.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $.