Номер 6.42, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.42, страница 20.

6.42 a) 1, $ \sin 1 $, $ \cos 1 $, $ \tg 1 $;

б) 2, $ \sin 2 $, $ \cos 2 $, $ \ctg 2 $.

а)

Для того чтобы сравнить числа $1$, $\sin 1$, $\cos 1$, $\text{tg } 1$, сначала определим, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 1 радиан.

Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Отсюда получаем значения для границ четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.Так как выполняется неравенство $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан расположен в I координатной четверти.

В I четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) принимают положительные значения.

1. Сравним $\sin 1$ и $\cos 1$. В I четверти на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает, а функция $y = \cos x$ убывает. Они равны при $x = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $1 > \frac{\pi}{4}$, значение синуса будет больше значения косинуса. Таким образом, $\sin 1 > \cos 1$.

2. Сравним $1$ с $\sin 1$ и $\text{tg } 1$. Существует известное неравенство для углов $x$ в I четверти ($0 < x < \frac{\pi}{2}$): $\sin x < x < \text{tg } x$. Применив это неравенство для $x = 1$, мы получаем $\sin 1 < 1 < \text{tg } 1$.

3. Сравним $1$ и $\cos 1$. Максимальное значение косинуса равно 1 и достигается при $x=0$. Для любого другого угла в I четверти, $\cos x < 1$. Следовательно, $\cos 1 < 1$.

Объединяя все полученные неравенства ($\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1 < \text{tg } 1$), мы можем расположить числа в порядке возрастания.

Ответ: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \text{tg } 1$.

б)

Для сравнения чисел $2$, $\sin 2$, $\cos 2$, $\text{ctg } 2$, определим положение угла в 2 радиана на тригонометрической окружности.

Используя приближения $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, мы видим, что $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Это означает, что угол в 2 радиана находится во II координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для угла во II четверти:
- синус положителен: $\sin 2 > 0$;
- косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$;
- котангенс, как отношение $\frac{\cos 2}{\sin 2}$, также отрицателен: $\text{ctg } 2 < 0$.
Число $2$ само по себе положительное.

Следовательно, отрицательные числа ($\cos 2$ и $\text{ctg } 2$) меньше положительных ($\sin 2$ и $2$).

1. Сравним положительные числа $2$ и $\sin 2$. Значение синуса любого угла не может быть больше 1. Таким образом, $\sin 2 \le 1$. Так как $1 < 2$, то $\sin 2 < 2$.

2. Сравним отрицательные числа $\cos 2$ и $\text{ctg } 2$. Запишем котангенс через синус и косинус: $\text{ctg } 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$. Во II четверти $0 < \sin 2 < 1$. Когда мы делим отрицательное число $\cos 2$ на положительное число $\sin 2$, которое меньше единицы, абсолютное значение частного становится больше абсолютного значения делимого: $|\text{ctg } 2| = \frac{|\cos 2|}{\sin 2} > |\cos 2|$. Среди двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль. Значит, $\text{ctg } 2 < \cos 2$.

3. Теперь мы можем упорядочить все четыре числа. Сначала идут отрицательные в порядке возрастания, затем положительные.

Ответ: $\text{ctg } 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.