Номер 6.35, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.35, страница 20.

6.35 Определите знак разности:

a) $\sin \frac{2\pi}{9} - \sin \frac{10\pi}{9}$;

б) $\sin 1 - \sin 1,1$;

в) $\sin \frac{15\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{4}$;

г) $\cos 1 - \cos 0,9.$

а) Чтобы определить знак разности $sin\frac{2\pi}{9} - sin\frac{10\pi}{9}$, определим знаки каждого из слагаемых.

Угол $\frac{2\pi}{9}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти синус положителен, следовательно, $sin\frac{2\pi}{9} > 0$.

Угол $\frac{10\pi}{9}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{9}$. Этот угол находится в третьей четверти ($ \pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin\frac{10\pi}{9} < 0$.

Разность положительного и отрицательного числа является положительным числом: $sin\frac{2\pi}{9} - sin\frac{10\pi}{9} = (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) = (\text{положительное}) + (\text{положительное}) > 0$.

Ответ: знак плюс (положительный).

б) Рассмотрим разность $sin 1 - sin 1,1$. Аргументы синуса даны в радианах.

Так как $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба угла, 1 радиан и 1,1 радиана, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находятся в первой четверти.

На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = sin x$ является возрастающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $sin(x_1) < sin(x_2)$.

Поскольку $1 < 1,1$, и оба значения находятся на промежутке возрастания синуса, то $sin 1 < sin 1,1$.

Следовательно, разность $sin 1 - sin 1,1$ отрицательна.

Ответ: знак минус (отрицательный).

в) Чтобы определить знак разности $sin\frac{15\pi}{8} - cos\frac{\pi}{4}$, определим знаки уменьшаемого и вычитаемого.

Угол $\frac{15\pi}{8}$ можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{8}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Значит, $sin\frac{15\pi}{8} < 0$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Значит, $cos\frac{\pi}{4} > 0$.

Разность отрицательного и положительного числа всегда является отрицательным числом: $sin\frac{15\pi}{8} - cos\frac{\pi}{4} = (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0$.

Ответ: знак минус (отрицательный).

г) Рассмотрим разность $cos 1 - cos 0,9$. Аргументы косинуса даны в радианах.

Оба угла, 1 радиан и 0,9 радиана, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$ (первая четверть), так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

На промежутке $[0; \pi]$ функция $y = cos x$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $cos(x_1) > cos(x_2)$.

Поскольку $0,9 < 1$, и оба значения находятся на промежутке убывания косинуса, то $cos 0,9 > cos 1$.

Следовательно, разность $cos 1 - cos 0,9$ отрицательна.

Ответ: знак минус (отрицательный).