Номер 6.39, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.39, страница 20.

6.39 Сравните числа a и b:

а) $a = \sin 1, b = \cos 6;$

б) $a = \sin 3, b = \cos 4;$

В) $a = \cos 2, b = \sin 4;$

Г) $a = \sin 3, b = \cos 5.$

а) $a = \sin 1, b = \cos 6$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим их знаки. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.

Угол 1 радиан находится в первой четверти, так как $0 < 1 < \pi/2$. В первой четверти синус положителен, следовательно, $a = \sin 1 > 0$.

Угол 6 радиан находится в четвертой четверти, так как $3\pi/2 < 6 < 2\pi$. В четвертой четверти косинус положителен, следовательно, $b = \cos 6 > 0$.

Поскольку оба числа положительны, приведем их к одной тригонометрической функции, например, к косинусу. Для этого воспользуемся формулами приведения.

Преобразуем $a = \sin 1$. Используя формулу $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$, получаем $a = \sin 1 = \cos(\pi/2 - 1)$.

Преобразуем $b = \cos 6$. Используя четность косинуса ($\cos x = \cos(-x)$) и его периодичность ($T=2\pi$), получаем $b = \cos 6 = \cos(-6) = \cos(2\pi - 6)$.

Теперь нам нужно сравнить $a = \cos(\pi/2 - 1)$ и $b = \cos(2\pi - 6)$.

Оценим значения аргументов: $\pi/2 - 1 \approx 1.57 - 1 = 0.57$ и $2\pi - 6 \approx 6.28 - 6 = 0.28$. Оба аргумента, $0.57$ и $0.28$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \pi/2)$.

На интервале $(0, \pi/2)$ функция косинуса убывает. Сравним аргументы: $0.28 < 0.57$, то есть $2\pi - 6 < \pi/2 - 1$. Так как функция $y = \cos x$ убывает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi/2 - 1)$.

Таким образом, $b > a$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sin 3, b = \cos 4$

Определим знаки чисел $a$ и $b$. Используем приближения $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

Угол 3 радиана находится во второй четверти, так как $\pi/2 < 3 < \pi$. Синус во второй четверти положителен, значит, $a = \sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана находится в третьей четверти, так как $\pi < 4 < 3\pi/2$. Косинус в третьей четверти отрицателен, значит, $b = \cos 4 < 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $a > b$.

Ответ: $a > b$.

в) $a = \cos 2, b = \sin 4$

Определим знаки чисел. Используем приближения $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

Угол 2 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), где косинус отрицателен. Итак, $a = \cos 2 < 0$.

Угол 4 радиана находится в третьей четверти ($\pi < 4 < 3\pi/2$), где синус отрицателен. Итак, $b = \sin 4 < 0$.

Оба числа отрицательны. Чтобы их сравнить, приведем их к одной функции с аргументами в первой четверти.

$a = \cos 2 = \cos(\pi/2 + (2 - \pi/2)) = -\sin(2 - \pi/2)$.

$b = \sin 4 = \sin(\pi + (4 - \pi)) = -\sin(4 - \pi)$.

Теперь нужно сравнить $-\sin(2 - \pi/2)$ и $-\sin(4 - \pi)$, что равносильно сравнению $\sin(4 - \pi)$ и $\sin(2 - \pi/2)$.

Оценим аргументы: $2 - \pi/2 \approx 2 - 1.57 = 0.43$ и $4 - \pi \approx 4 - 3.14 = 0.86$. Оба угла, $0.43$ и $0.86$, находятся в первой четверти, где синус возрастает.

Сравним аргументы $2 - \pi/2$ и $4 - \pi$. Неравенство $2 - \pi/2 < 4 - \pi$ равносильно неравенству $\pi/2 < 2$, или $\pi < 4$, что является верным. Значит, $2 - \pi/2 < 4 - \pi$.

Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $2 - \pi/2 < 4 - \pi$ следует, что $\sin(2 - \pi/2) < \sin(4 - \pi)$.

Умножая обе части последнего неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\sin(2 - \pi/2) > -\sin(4 - \pi)$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 3, b = \cos 5$

Определим знаки чисел. Используем приближения $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.

Угол 3 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), где синус положителен. Итак, $a = \sin 3 > 0$.

Угол 5 радиан находится в четвертой четверти ($3\pi/2 < 5 < 2\pi$), где косинус положителен. Итак, $b = \cos 5 > 0$.

Оба числа положительны. Приведем их к одной функции (синусу) с аргументами в первой четверти.

$a = \sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Аргумент $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$ находится в первой четверти.

$b = \cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Чтобы привести к синусу, используем формулу $\cos x = \sin(\pi/2-x)$: $b = \cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент $5 - 3\pi/2 \approx 5 - 4.71 = 0.29$ находится в первой четверти.

Теперь сравним $a = \sin(\pi-3)$ и $b = \sin(5 - 3\pi/2)$. В первой четверти функция синус возрастает, поэтому нам нужно сравнить аргументы: $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$.

Сравним $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$. Это неравенство равносильно $\pi + 3\pi/2$ vs $5+3$, то есть $5\pi/2$ vs $8$, или $5\pi$ vs $16$, что эквивалентно $\pi$ vs $16/5 = 3.2$.

Поскольку $\pi \approx 3.14159 < 3.2$, то $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$.

Так как синус в первой четверти возрастает, из меньшего аргумента следует меньшее значение функции: $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - 3\pi/2)$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.