Номер 6.44, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.44, страница 21.

6.44 a) $cos t > 0;$

Б) $cos t < \frac{\sqrt{2}}{2};$

В) $cos t < 0;$

Г) $cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) $ \cos t > 0 $

Для решения тригонометрического неравенства $ \cos t > 0 $ воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Неравенство $ \cos t > 0 $ выполняется для тех точек единичной окружности, у которых абсцисса положительна. Эти точки лежат в I и IV координатных четвертях, то есть справа от оси ординат.

Крайними точками этой дуги являются точки, в которых $ \cos t = 0 $. Это углы $ t = -\frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{\pi}{2} $.

Таким образом, решение на одном промежутке длиной $ 2\pi $ будет $ t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку функция косинуса периодическая с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, добавив к концам интервала $ 2\pi k $, где $k$ – любое целое число.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} $

Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности этому значению абсциссы соответствуют две точки, отвечающие углам $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ также можно записать как $ \frac{7\pi}{4} $ в пределах отрезка $ [0, 2\pi] $.

Нам нужно найти все углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки) меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, которая лежит левее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается от угла $ \frac{\pi}{4} $ и заканчивается в угле $ \frac{7\pi}{4} $.

Следовательно, решение неравенства на одном обороте: $ t \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) $.

Учитывая периодичность функции косинуса, общее решение имеет вид:

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos t < 0 $

Неравенство $ \cos t < 0 $ выполняется для тех точек единичной окружности, у которых абсцисса отрицательна. Эти точки расположены во II и III координатных четвертях, то есть слева от оси ординат.

Крайними точками этой дуги являются точки, где $ \cos t = 0 $, то есть $ t = \frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{3\pi}{2} $.

Двигаясь против часовой стрелки, мы видим, что дуга, удовлетворяющая условию, начинается в $ \frac{\pi}{2} $ и заканчивается в $ \frac{3\pi}{2} $.

Решение на одном обороте: $ t \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) $.

Добавляя период $ 2\pi k $, получаем общее решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos t > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями являются $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $.

Нам нужно найти все углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается от угла $ -\frac{\pi}{4} $ и заканчивается в угле $ \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, решение на одном промежутке: $ t \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение будет:

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.