Номер 7.4, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.4, страница 22.

7.4 a) $ \frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t} $

б) $ \frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2} $

а)

Требуется упростить выражение $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t}$.

1. Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$.

2. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Сгруппируем слагаемые в числителе:
$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + 2 \sin t \cos t$.

3. Подставим полученное выражение для числителя обратно в исходную дробь:
$\frac{1 + 2 \sin t \cos t}{1 + 2 \sin t \cos t}$.

4. Поскольку числитель и знаменатель дроби одинаковы, их отношение равно 1. Это верно при условии, что знаменатель не обращается в нуль.

Ответ: 1

б)

Требуется упростить выражение $\frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2}$.

1. Рассмотрим числитель. Используя основное тригонометрическое тождество, заменим 1 на $\sin^2 t + \cos^2 t$:
$1 - 2 \sin t \cos t = (\sin^2 t + \cos^2 t) - 2 \sin t \cos t = \cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t$.

2. Теперь рассмотрим знаменатель. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t$.

3. Подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\frac{\cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t}{\cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t}$.

4. Числитель и знаменатель равны, следовательно, значение выражения равно 1 (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Ответ: 1