Номер 7.8, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.8, страница 22.

7.8 a) $cos t = 0.8$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

В) $cos t = 0.6$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Г) $cos t = -\frac{24}{25}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано: $cos t = 0,8$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует I четверти тригонометрической окружности. В этой четверти все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) имеют положительные значения.
1. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 t + cos^2 t = 1$, чтобы найти $sin t$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
Поскольку $t$ находится в I четверти, $sin t$ положителен.
$sin t = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $tan t$ по определению $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
3. Найдем $cot t$ по определению $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $sin t = 0,6$; $tan t = 0,75$; $cot t = \frac{4}{3}$.

б) Дано: $cos t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти. В этой четверти $sin t$ положителен, а $tan t$ и $cot t$ отрицательны.
1. Найдем $sin t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Поскольку $t$ находится во II четверти, $sin t > 0$.
$sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $sin t = \frac{12}{13}$; $tan t = -\frac{12}{5}$; $cot t = -\frac{5}{12}$.

в) Дано: $cos t = 0,6$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти. В этой четверти $sin t$, $tan t$ и $cot t$ отрицательны.
1. Найдем $sin t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Поскольку $t$ находится в IV четверти, $sin t < 0$.
$sin t = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $sin t = -0,8$; $tan t = -\frac{4}{3}$; $cot t = -0,75$.

г) Дано: $cos t = -\frac{24}{25}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует III четверти. В этой четверти $sin t$ отрицателен, а $tan t$ и $cot t$ положительны.
1. Найдем $sin t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}$.
Поскольку $t$ находится в III четверти, $sin t < 0$.
$sin t = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $sin t = -\frac{7}{25}$; $tan t = \frac{7}{24}$; $cot t = \frac{24}{7}$.