Номер 7.14, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.14, страница 23.

7.14 a) $ \frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t; $

б) $ \frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}. $

a) Упростим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$.

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из него следуют два равенства:

$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$

$1 - \cos^2 t = \sin^2 t$

Подставим их в первую дробь выражения:

$\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

По определению котангенса, $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$.

2. Упростим второе слагаемое. По определению, тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами:

$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$ (при условии, что $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$).

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \operatorname{ctg}^2 t + 1$.

4. Используем еще одно тригонометрическое тождество, являющееся следствием основного: $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.

Таким образом, выражение равно $\frac{1}{\sin^2 t}$.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}$.

1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$

$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

2. Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$\frac{\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$

3. Упростим числитель, вынеся $\cos^2 t$ за скобки:

$\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cos^2 t \left(1 - \frac{1}{\sin^2 t}\right) = \cos^2 t \left(\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}\right)$

4. Упростим знаменатель, вынеся $\sin^2 t$ за скобки:

$\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \sin^2 t \left(1 - \frac{1}{\cos^2 t}\right) = \sin^2 t \left(\frac{\cos^2 t - 1}{\cos^2 t}\right)$

5. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует:

$\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$

$\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$

Подставим эти соотношения в выражения для числителя и знаменателя:

Числитель: $\cos^2 t \left(\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}\right) = -\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}$

Знаменатель: $\sin^2 t \left(\frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) = -\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}$

6. Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{-\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}}{-\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t}$

7. Полученное выражение является шестой степенью котангенса:

$\frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^6 = \operatorname{ctg}^6 t$

Ответ: $\operatorname{ctg}^6 t$.