Номер 7.12, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.12, страница 23.

Упростите выражение:

7.12 a) $\operatorname{ctg} t - \frac{\cos t - 1}{\sin t};$

б) $\operatorname{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1);$

в) $\cos^2 t - (\operatorname{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t;$

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t.$

а) $ \text{ctg } t - \frac{\cos t - 1}{\sin t} $

Для упрощения данного выражения приведем его к общему знаменателю. Для этого представим котангенс через синус и косинус.

1. Используем определение котангенса: $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\cos t - 1}{\sin t} $

2. Так как у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:
$ \frac{\cos t - (\cos t - 1)}{\sin t} $

3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\cos t - \cos t + 1}{\sin t} = \frac{1}{\sin t} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin t} $

б) $ \text{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1) $

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества.

1. Вспомним, что отрицательная степень означает обратную величину: $ \sin^{-2} t = \frac{1}{\sin^2 t} $.
Выражение принимает вид:
$ \text{ctg}^2 t - \left(\frac{1}{\sin^2 t} - 1\right) $

2. Используем одно из основных тригонометрических тождеств, связывающее котангенс и синус: $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.

3. Из этого тождества выразим $ \text{ctg}^2 t $: $ \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - 1 $.

4. Заметим, что выражение в скобках в нашей задаче как раз равно $ \text{ctg}^2 t $. Подставим это:
$ \text{ctg}^2 t - \text{ctg}^2 t = 0 $

Ответ: $ 0 $

в) $ \cos^2 t - (\text{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t $

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Рассмотрим выражение в скобках: $ \text{ctg}^2 t + 1 $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \cos^2 t - \left(\frac{1}{\sin^2 t}\right) \cdot \sin^2 t $

2. Упростим второе слагаемое. Произведение дроби на ее знаменатель равно единице:
$ \frac{1}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t = 1 $

3. Теперь выражение выглядит так:
$ \cos^2 t - 1 $

4. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

г) $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Рассмотрим дробь $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ имеем:
$ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $
$ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} $

2. Вспомним, что $ \frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t $, следовательно, $ \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \text{ctg}^2 t $.

3. Теперь рассмотрим второе слагаемое: $ \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $. По определению, тангенс и котангенс - взаимно обратные функции: $ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} $.
Их произведение равно 1:
$ \text{tg } t \cdot \frac{1}{\text{tg } t} = 1 $.

4. Сложим упрощенные части выражения:
$ \text{ctg}^2 t + 1 $

5. Используем тождество $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $ для получения окончательного ответа.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 t} $