Номер 7.10, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.10, страница 22.

7.10 a) $ctg t = \frac{12}{5}, \pi < t < \frac{3\pi}{2};$

Б) $ctg t = \frac{7}{24}, 0 < t < \frac{\pi}{2};$

В) $ctg t = -\frac{5}{12}, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi;$

Г) $ctg t = -\frac{8}{15}, \frac{\pi}{2} < t < \pi.$

а) Дано: $ctg t = \frac{12}{5}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует III четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
1. Найдем $tg t$ по формуле $tg t = \frac{1}{ctg t}$:
$tg t = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $sin t$ с помощью основного тригонометрического тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $sin t < 0$, поэтому $sin t = -\frac{5}{13}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $ctg t = \frac{cos t}{sin t}$, откуда $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.
Знак косинуса отрицательный, что соответствует III четверти.
Ответ: $sin t = -\frac{5}{13}, cos t = -\frac{12}{13}, tg t = \frac{5}{12}$.

б) Дано: $ctg t = \frac{7}{24}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует I четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{1}{\frac{625}{576}} = \frac{576}{625}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Так как $t$ находится в I четверти, $sin t > 0$, поэтому $sin t = \frac{24}{25}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
Знак косинуса положительный, что соответствует I четверти.
Ответ: $sin t = \frac{24}{25}, cos t = \frac{7}{25}, tg t = \frac{24}{7}$.

в) Дано: $ctg t = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144+25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $sin t < 0$, поэтому $sin t = -\frac{12}{13}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = (-\frac{5}{12}) \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.
Знак косинуса положительный, что соответствует IV четверти.
Ответ: $sin t = -\frac{12}{13}, cos t = \frac{5}{13}, tg t = -\frac{12}{5}$.

г) Дано: $ctg t = -\frac{8}{15}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{-8/15} = -\frac{15}{8}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{8}{15})^2} = \frac{1}{1 + \frac{64}{225}} = \frac{1}{\frac{225+64}{225}} = \frac{1}{\frac{289}{225}} = \frac{225}{289}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $sin t > 0$, поэтому $sin t = \frac{15}{17}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = (-\frac{8}{15}) \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}$.
Знак косинуса отрицательный, что соответствует II четверти.
Ответ: $sin t = \frac{15}{17}, cos t = -\frac{8}{17}, tg t = -\frac{15}{8}$.