Номер 7.17, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §7. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 7.17, страница 23.

Условие.

7.17 a) Дано: $ \sin (4\pi + t) = \frac{3}{5} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Вычислите $ \operatorname{tg}(\pi - t) $.

б) Дано: $ \cos (2\pi + t) = \frac{12}{13} $, $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $. Вычислите $ \operatorname{ctg}(\pi - t) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Дано: $ \sin(4\pi + t) = \frac{3}{5} $ и $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Нужно вычислить $ \text{tg}(\pi - t) $.
1. Используем свойство периодичности синуса, согласно которому $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого $ k $. В нашем случае $ k=2 $.
$ \sin(4\pi + t) = \sin(t) $.
Следовательно, $ \sin(t) = \frac{3}{5} $.
2. По условию, угол $ t $ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I четверти. В этой четверти косинус положителен.
3. Найдем $ \cos(t) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $.
$ \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.
Так как $ \cos(t) > 0 $, то $ \cos(t) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
4. Теперь найдем $ \text{tg}(t) $.
$ \text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $.
5. Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
$ \text{tg}(\pi - t) = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

б) Дано: $ \cos(2\pi + t) = \frac{12}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $. Нужно вычислить $ \text{ctg}(\pi - t) $.
1. Используем свойство периодичности косинуса, согласно которому $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $. В нашем случае $ k=1 $.
$ \cos(2\pi + t) = \cos(t) $.
Следовательно, $ \cos(t) = \frac{12}{13} $.
2. По условию, угол $ t $ находится в интервале $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $, что соответствует IV четверти. В этой четверти синус отрицателен.
3. Найдем $ \sin(t) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $.
$ \sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \sin(t) < 0 $, то $ \sin(t) = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.
4. Теперь найдем $ \text{ctg}(t) $.
$ \text{ctg}(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} $.
5. Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t) $.
$ \text{ctg}(\pi - t) = - \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{5} $.
Ответ: $ \frac{12}{5} $.