Номер 7.20, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.20, страница 24.

7.20 Вычислите $sin^4 t + cos^4 t$, если $sin t cos t = -0.5$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой квадрата суммы.

Основное тригонометрическое тождество гласит:$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

Возведем обе части этого тождества в квадрат:$ (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:$ (\sin^2 t)^2 + 2\sin^2 t \cos^2 t + (\cos^2 t)^2 = 1 $$ \sin^4 t + 2\sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = 1 $

Теперь выразим искомую сумму $ \sin^4 t + \cos^4 t $:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2\sin^2 t \cos^2 t $

Выражение $ 2\sin^2 t \cos^2 t $ можно переписать как $ 2(\sin t \cos t)^2 $. Подставим это в нашу формулу:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2 $

По условию задачи нам дано, что $ \sin t \cos t = -0.5 $. Подставим это значение в полученное выражение:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(-0.5)^2 $

Вычислим результат:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5 $

Ответ: $0.5$