Номер 7.15, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.15, страница 23.

Докажите тождество:

7.15 a) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t};$

б) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t};$

В) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t;$

Г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}.$

а) Чтобы доказать тождество $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$, преобразуем его правую часть.

Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + \frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + 1$.

Воспользуемся определением котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$ и подставим его в полученное выражение:
$\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} + 1 = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} + 1$.

После сокращения на $\cos t$ получаем:
$\sin t + 1$.

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $1 + \sin t = 1 + \sin t$ является верным.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$, преобразуем его левую часть.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \sin t)$:
$\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t (1 + \sin t)}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\frac{1 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$. Заменим числитель:
$\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$.

Сократим дробь на $\cos t$:
$\frac{\cos t}{1 + \sin t}$.

В результате мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$, преобразуем его левую часть.

Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + \frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1$.

Воспользуемся определением тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и подставим его в выражение:
$\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} + 1 = \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 1$.

После сокращения на $\sin t$ получаем:
$\cos t + 1$.

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства: $1 + \cos t$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$, преобразуем его левую часть.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \cos t)$:
$\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}$.

В знаменателе применим формулу разности квадратов:
$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$. Заменим знаменатель:
$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}$.

Сократим дробь на $\sin t$:
$\frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

В результате мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.