Номер 7.18, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §7. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 7.18, страница 23.

Условие.

7.18 a) Дано: $\cos t = -\frac{5}{13}$, $8.5\pi < t < 9\pi$. Вычислите $\sin(-t)$.

б) Дано: $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Вычислите $\cos(-t) + \sin(-t)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Нам нужно вычислить $\sin(-t)$. Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-t) = -\sin t$.
Теперь найдем $\sin t$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Дано, что $\cos t = -\frac{5}{13}$. Подставим это значение в тождество:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Отсюда $\sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Чтобы определить знак синуса, рассмотрим заданный интервал для $t$: $8,5\pi < t < 9\pi$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти, так как $8,5\pi = 8\pi + 0,5\pi$ и $9\pi = 8\pi + \pi$. Во второй четверти синус положителен ($\sin t > 0$).
Следовательно, $\sin t = \frac{12}{13}$.
Теперь мы можем вычислить искомое значение:
$\sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13}$.
Ответ: $-\frac{12}{13}$.

б)

Нам нужно вычислить $\cos(-t) + \sin(-t)$. Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса:
$\cos(-t) = \cos t$ (косинус — четная функция).
$\sin(-t) = -\sin t$ (синус — нечетная функция).
Таким образом, выражение преобразуется к виду: $\cos(-t) + \sin(-t) = \cos t - \sin t$.
Нам дано значение $\sin t = \frac{4}{5}$. Найдем $\cos t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $\cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Определим знак косинуса из заданного интервала для $t$: $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$.
Преобразуем границы интервала: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ и $5\pi = 4\pi + \pi$. Отбросив полные обороты ($4\pi$), получаем интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, что соответствует второй координатной четверти.
Во второй четверти косинус отрицателен ($\cos t < 0$).
Значит, $\cos t = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим значение искомого выражения:
$\cos t - \sin t = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3+4}{5} = -\frac{7}{5}$.
Ответ: $-\frac{7}{5}$.