Номер 7.21, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.21, страница 24.

7.21 Вычислите $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t - \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Для решения задачи сначала найдем значение $ \operatorname{tg} t $. Пусть $ x = \operatorname{tg} t $. Тогда данное уравнение $ \operatorname{tg} t - \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12} $ можно переписать в виде:

$ x - \frac{1}{x} = -\frac{7}{12} $

Приведем уравнение к общему знаменателю $ 12x $ (при условии $ x \ne 0 $, что следует из вида уравнения):

$ 12x \cdot x - 12x \cdot \frac{1}{x} = 12x \cdot \left(-\frac{7}{12}\right) $

$ 12x^2 - 12 = -7x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 12x^2 + 7x - 12 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3} $

Таким образом, мы получили два возможных значения для $ \operatorname{tg} t $: $ \frac{3}{4} $ и $ -\frac{4}{3} $.

Согласно условию, угол $ t $ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны. Следовательно, мы должны выбрать положительное значение для тангенса:

$ \operatorname{tg} t = \frac{3}{4} $

Теперь, зная тангенс, найдем синус и косинус. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $:

$ \frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} $

Отсюда $ \cos^2 t = \frac{16}{25} $. Поскольку $ t $ находится в первой четверти, $ \cos t > 0 $, и мы берем положительный корень:

$ \cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $

Теперь найдем синус, используя определение тангенса $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $:

$ \sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} $

Наконец, вычислим искомую сумму $ \sin t + \cos t $:

$ \sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} $

Ответ: $ \frac{7}{5} $.