Номер 7.19, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.19, страница 24.

7.19 Известно, что $\text{tg}t + \text{ctg}t = 2,3$. Вычислите $\text{tg}^2t + \text{ctg}^2t$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Исходное выражение:

$ \tg t + \ctg t = 2,3 $

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ (\tg t + \ctg t)^2 = (2,3)^2 $

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$ \tg^2 t + 2 \cdot \tg t \cdot \ctg t + \ctg^2 t = 5,29 $

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, поэтому их произведение равно единице:

$ \tg t \cdot \ctg t = 1 $

Подставим это значение в наше уравнение:

$ \tg^2 t + 2 \cdot 1 + \ctg^2 t = 5,29 $

$ \tg^2 t + 2 + \ctg^2 t = 5,29 $

Теперь, чтобы найти значение выражения $ \tg^2 t + \ctg^2 t $, перенесем 2 в правую часть уравнения:

$ \tg^2 t + \ctg^2 t = 5,29 - 2 $

$ \tg^2 t + \ctg^2 t = 3,29 $

Ответ: 3,29