Номер 7.13, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.13, страница 23.

7.13 a) $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$;

Б) $\text{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1$;

В) $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$;

Г) $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение $(1 + \cos t)(1 - \cos t)$.
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем: $(1 + \cos t)(1 - \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, имеем $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{\sin t (1 - \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} + \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} = \frac{\sin t (1 - \cos t) + \sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{\sin^2 t}$.
В числителе слагаемые $-\sin t \cos t$ и $\sin t \cos t$ взаимно уничтожаются:
$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin t}$.

б) Чтобы упростить выражение $\text{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1$, воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Определение котангенса: $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Подставим эти выражения в исходное:
$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) + 1$.
Сократим $\sin^2 t$:
$-\cos^2 t + 1 = 1 - \cos^2 t$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$.

в) Упростим выражение $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$. Решение аналогично пункту а).
Общий знаменатель: $(1 + \sin t)(1 - \sin t) = 1 - \sin^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Сложим дроби:
$\frac{\cos t (1 - \sin t) + \cos t (1 + \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t}{1 - \sin^2 t} = \frac{2 \cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos t}$.

г) Упростим выражение $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sin t}{\cos t} + 1}{1 + \frac{\cos t}{\sin t}}$.
Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$\frac{\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}}$.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\sin t + \cos t}$.
Сократим одинаковые множители $(\sin t + \cos t)$: $\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} t$.
Ответ: $\text{tg} t$.