Номер 7.7, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.7, страница 22.

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

7.7 a) $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

б) $\sin t = \frac{5}{13}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\sin t = -0,6$, $-\frac{\pi}{2} < t < 0$;

г) $\sin t = -0,28$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения всех пунктов задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, а также определения тангенса и котангенса: $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Знак остальных функций определяется по координатной четверти, в которой находится угол $t$.

а) Дано: $ \sin t = \frac{4}{5} $, при этом $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Данный интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $. Так как $t$ находится во второй четверти, $ \cos t < 0 $, следовательно, $ \cos t = -\frac{3}{5} $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} $.

$ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ \cos t = -\frac{3}{5} $, $ \tan t = -\frac{4}{3} $, $ \cot t = -\frac{3}{4} $.

б) Дано: $ \sin t = \frac{5}{13} $, при этом $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Это первая координатная четверть, где все тригонометрические функции положительны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $. Так как $t$ находится в первой четверти, $ \cos t > 0 $, следовательно, $ \cos t = \frac{12}{13} $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \cos t = \frac{12}{13} $, $ \tan t = \frac{5}{12} $, $ \cot t = \frac{12}{5} $.

в) Дано: $ \sin t = -0,6 $, при этом $ -\frac{\pi}{2} < t < 0 $. Это четвертая координатная четверть, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

$ \cos t = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $. Так как $t$ находится в четвертой четверти, $ \cos t > 0 $, следовательно, $ \cos t = 0,8 $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75 $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = -\frac{4}{3} $.

Ответ: $ \cos t = 0,8 $, $ \tan t = -0,75 $, $ \cot t = -\frac{4}{3} $.

г) Дано: $ \sin t = -0,28 $, при этом $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Это третья координатная четверть, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ -0,28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25} $. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} $. Так как $t$ находится в третьей четверти, $ \cos t < 0 $, следовательно, $ \cos t = -\frac{24}{25} = -0,96 $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24} $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{24}{7} $.

Ответ: $ \cos t = -0,96 $, $ \tan t = \frac{7}{24} $, $ \cot t = \frac{24}{7} $.