Номер 7.6, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.6, страница 22.
№7.6 (с. 22)
Условие. №7.6 (с. 22)
скриншот условия

7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение:
а) $\sin^4 t - \cos^4 t + 2 \cos^2 t$;
б) $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$;
в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$;
г) $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$.
Решение 1. №7.6 (с. 22)

Решение 2. №7.6 (с. 22)

Решение 3. №7.6 (с. 22)

Решение 5. №7.6 (с. 22)

Решение 6. №7.6 (с. 22)
а) Для упрощения выражения $sin^4t - cos^4t + 2cos^2t$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первых двух слагаемых. Представим $sin^4t - cos^4t$ как $(sin^2t)^2 - (cos^2t)^2$.
$sin^4t - cos^4t = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$
Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, получаем:
$(sin^2t - cos^2t) \cdot 1 = sin^2t - cos^2t$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(sin^2t - cos^2t) + 2cos^2t = sin^2t - cos^2t + 2cos^2t = sin^2t + cos^2t$
Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем 1. Таким образом, выражение не зависит от $t$ и его значение равно 1.
Ответ: 1
б) Рассмотрим выражение $\frac{2 - sin^2t - cos^2t}{3sin^2t + 3cos^2t}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
В числителе вынесем минус за скобки: $2 - (sin^2t + cos^2t)$. Используя тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, числитель упрощается до $2 - 1 = 1$.
В знаменателе вынесем за скобки 3: $3(sin^2t + cos^2t)$. Используя то же тождество, знаменатель становится равным $3 \cdot 1 = 3$.
Таким образом, всё выражение равно $\frac{1}{3}$. Знаменатель $3sin^2t + 3cos^2t = 3 \ne 0$, поэтому выражение определено для всех значений $t$.
Ответ: $\frac{1}{3}$
в) Выражение $sin^4t + cos^4t + 2sin^2t \cos^2t$ представляет собой полный квадрат суммы. Его можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = sin^2t$ и $b = cos^2t$.
$(sin^2t)^2 + 2sin^2t \cos^2t + (cos^2t)^2 = (sin^2t + cos^2t)^2$
Так как по основному тригонометрическому тождеству $sin^2t + cos^2t = 1$, то выражение равно $1^2 = 1$.
Ответ: 1
г) Упростим выражение $\frac{sin^4t - cos^4t}{sin^2t - cos^2t}$.
Область допустимых значений $t$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $sin^2t - cos^2t \ne 0$.
В числителе применим формулу разности квадратов: $sin^4t - cos^4t = (sin^2t)^2 - (cos^2t)^2 = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$.
Тогда дробь принимает вид:
$\frac{(sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)}{sin^2t - cos^2t}$
При допустимых значениях $t$ (когда $sin^2t - cos^2t \ne 0$) можно сократить дробь на $(sin^2t - cos^2t)$, после чего останется выражение $sin^2t + cos^2t$.
По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7.6 расположенного на странице 22 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.6 (с. 22), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.