Номер 7.6, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §7. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 7.6, страница 22.

Условие.

7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение:

а) $\sin^4 t - \cos^4 t + 2 \cos^2 t$;

б) $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$;

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$;

г) $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $sin^4t - cos^4t + 2cos^2t$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первых двух слагаемых. Представим $sin^4t - cos^4t$ как $(sin^2t)^2 - (cos^2t)^2$.

$sin^4t - cos^4t = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, получаем:

$(sin^2t - cos^2t) \cdot 1 = sin^2t - cos^2t$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(sin^2t - cos^2t) + 2cos^2t = sin^2t - cos^2t + 2cos^2t = sin^2t + cos^2t$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем 1. Таким образом, выражение не зависит от $t$ и его значение равно 1.

Ответ: 1

б) Рассмотрим выражение $\frac{2 - sin^2t - cos^2t}{3sin^2t + 3cos^2t}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе вынесем минус за скобки: $2 - (sin^2t + cos^2t)$. Используя тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, числитель упрощается до $2 - 1 = 1$.

В знаменателе вынесем за скобки 3: $3(sin^2t + cos^2t)$. Используя то же тождество, знаменатель становится равным $3 \cdot 1 = 3$.

Таким образом, всё выражение равно $\frac{1}{3}$. Знаменатель $3sin^2t + 3cos^2t = 3 \ne 0$, поэтому выражение определено для всех значений $t$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Выражение $sin^4t + cos^4t + 2sin^2t \cos^2t$ представляет собой полный квадрат суммы. Его можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = sin^2t$ и $b = cos^2t$.

$(sin^2t)^2 + 2sin^2t \cos^2t + (cos^2t)^2 = (sin^2t + cos^2t)^2$

Так как по основному тригонометрическому тождеству $sin^2t + cos^2t = 1$, то выражение равно $1^2 = 1$.

Ответ: 1

г) Упростим выражение $\frac{sin^4t - cos^4t}{sin^2t - cos^2t}$.

Область допустимых значений $t$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $sin^2t - cos^2t \ne 0$.

В числителе применим формулу разности квадратов: $sin^4t - cos^4t = (sin^2t)^2 - (cos^2t)^2 = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$.

Тогда дробь принимает вид:

$\frac{(sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)}{sin^2t - cos^2t}$

При допустимых значениях $t$ (когда $sin^2t - cos^2t \ne 0$) можно сократить дробь на $(sin^2t - cos^2t)$, после чего останется выражение $sin^2t + cos^2t$.

По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Ответ: 1