Номер 6.46, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.46, страница 21.

Вычислите:

6.46 a) $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2};$

б) $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}.$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $, упростим каждый из трех радикалов. Все выражения под корнем являются полными квадратами, поэтому воспользуемся формулой $ \sqrt{A^2} = |A| $.

1. Первый радикал: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} = \sqrt{(\sin 2 - \sin 1)^2} = |\sin 2 - \sin 1| $. Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $ \sin 1 $ и $ \sin 2 $ (углы в радианах). Поскольку $ \pi/2 \approx 1.57 $, то $ 0 < 1 < \pi/2 $ и $ \pi/2 < 2 < \pi $. С помощью формулы приведения $ \sin 2 = \sin(\pi - 2) $. Сравним $ 1 $ и $ \pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14 $. Так как $ 1 < 1.14 $ и оба угла лежат в интервале $ (0, \pi/2) $, где синус возрастает, получаем $ \sin 1 < \sin(\pi - 2) = \sin 2 $. Значит, $ \sin 2 - \sin 1 > 0 $, и выражение равно $ \sin 2 - \sin 1 $.

2. Второй радикал: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} = \sqrt{(\sin 1 - \frac{1}{2})^2} = |\sin 1 - \frac{1}{2}| $. Сравним $ \sin 1 $ с $ 1/2 $. Известно, что $ \sin(\pi/6) = 1/2 $, где $ \pi/6 \approx 0.52 $. Так как $ 1 > \pi/6 $ и угол 1 радиан находится в первой четверти, где синус возрастает, $ \sin 1 > 1/2 $. Значит, $ \sin 1 - 1/2 > 0 $, и выражение равно $ \sin 1 - \frac{1}{2} $.

3. Третий радикал: $ \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} = \sqrt{(1 - \sin 2)^2} = |1 - \sin 2| $. Так как $ \sin x \leq 1 $ для любого $ x $ и $ 2 \neq \pi/2 $, то $ \sin 2 < 1 $. Значит, $ 1 - \sin 2 > 0 $, и выражение равно $ 1 - \sin 2 $.

Суммируя полученные результаты, получаем: $ (\sin 2 - \sin 1) + (\sin 1 - \frac{1}{2}) + (1 - \sin 2) = \sin 2 - \sin 1 + \sin 1 - \frac{1}{2} + 1 - \sin 2 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $, действуем аналогично.

1. Первый радикал: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} = \sqrt{(\cos 6 - \cos 7)^2} = |\cos 6 - \cos 7| $. Сравним $ \cos 6 $ и $ \cos 7 $. Используем периодичность и четность косинуса: $ \cos 6 = \cos(2\pi - 6) $ и $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) $. Приближенные значения аргументов: $ 2\pi - 6 \approx 0.28 $ и $ 7 - 2\pi \approx 0.72 $. Оба угла лежат в интервале $ (0, \pi/2) $, где косинус убывает. Так как $ 0.28 < 0.72 $, то $ \cos(0.28) > \cos(0.72) $, т.е. $ \cos 6 > \cos 7 $. Значит, $ \cos 6 - \cos 7 > 0 $, и выражение равно $ \cos 6 - \cos 7 $.

2. Второй радикал: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} = \sqrt{(\cos 7 - \frac{1}{2})^2} = |\cos 7 - \frac{1}{2}| $. Сравним $ \cos 7 $ с $ 1/2 $. Мы знаем, что $ \cos(\pi/3) = 1/2 $, где $ \pi/3 \approx 1.047 $. Ранее мы нашли, что $ \cos 7 \approx \cos(0.72) $. Так как $ 0 < 0.72 < \pi/3 $, и косинус убывает на этом интервале, то $ \cos(0.72) > \cos(\pi/3) $. Значит, $ \cos 7 > 1/2 $, и выражение равно $ \cos 7 - \frac{1}{2} $.

3. Третий радикал: $ \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} = \sqrt{(1 - \cos 6)^2} = |1 - \cos 6| $. Так как $ \cos x \leq 1 $ для любого $ x $ и $ 6 \neq 2k\pi $, то $ \cos 6 < 1 $. Значит, $ 1 - \cos 6 > 0 $, и выражение равно $ 1 - \cos 6 $.

Суммируя результаты, получаем: $ (\cos 6 - \cos 7) + (\cos 7 - \frac{1}{2}) + (1 - \cos 6) = \cos 6 - \cos 7 + \cos 7 - \frac{1}{2} + 1 - \cos 6 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.