Номер 6.46, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс - номер 6.46, страница 21.

Условие.

Вычислите:

6.46 a) $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2};$

б) $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}.$

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2}$, упростим каждый из трех радикалов. Все выражения под корнем являются полными квадратами, поэтому воспользуемся формулой $\sqrt{A^2} = |A|$.

1. Первый радикал: $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} = \sqrt{(\sin 2 - \sin 1)^2} = |\sin 2 - \sin 1|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\sin 1$ и $\sin 2$ (углы в радианах). Поскольку $\pi/2 \approx 1.57$, то $0 < 1 < \pi/2$ и $\pi/2 < 2 < \pi$. С помощью формулы приведения $\sin 2 = \sin(\pi - 2)$. Сравним $1$ и $\pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14$. Так как $1 < 1.14$ и оба угла лежат в интервале $(0, \pi/2)$, где синус возрастает, получаем $\sin 1 < \sin(\pi - 2) = \sin 2$. Значит, $\sin 2 - \sin 1 > 0$, и выражение равно $\sin 2 - \sin 1$.

2. Второй радикал: $\sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} = \sqrt{(\sin 1 - \frac{1}{2})^2} = |\sin 1 - \frac{1}{2}|$. Сравним $\sin 1$ с $1/2$. Известно, что $\sin(\pi/6) = 1/2$, где $\pi/6 \approx 0.52$. Так как $1 > \pi/6$ и угол 1 радиан находится в первой четверти, где синус возрастает, $\sin 1 > 1/2$. Значит, $\sin 1 - 1/2 > 0$, и выражение равно $\sin 1 - \frac{1}{2}$.

3. Третий радикал: $\sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} = \sqrt{(1 - \sin 2)^2} = |1 - \sin 2|$. Так как $\sin x \leq 1$ для любого $x$ и $2 \neq \pi/2$, то $\sin 2 < 1$. Значит, $1 - \sin 2 > 0$, и выражение равно $1 - \sin 2$.

Суммируя полученные результаты, получаем: $(\sin 2 - \sin 1) + (\sin 1 - \frac{1}{2}) + (1 - \sin 2) = \sin 2 - \sin 1 + \sin 1 - \frac{1}{2} + 1 - \sin 2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}$, действуем аналогично.

1. Первый радикал: $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} = \sqrt{(\cos 6 - \cos 7)^2} = |\cos 6 - \cos 7|$. Сравним $\cos 6$ и $\cos 7$. Используем периодичность и четность косинуса: $\cos 6 = \cos(2\pi - 6)$ и $\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$. Приближенные значения аргументов: $2\pi - 6 \approx 0.28$ и $7 - 2\pi \approx 0.72$. Оба угла лежат в интервале $(0, \pi/2)$, где косинус убывает. Так как $0.28 < 0.72$, то $\cos(0.28) > \cos(0.72)$, т.е. $\cos 6 > \cos 7$. Значит, $\cos 6 - \cos 7 > 0$, и выражение равно $\cos 6 - \cos 7$.

2. Второй радикал: $\sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} = \sqrt{(\cos 7 - \frac{1}{2})^2} = |\cos 7 - \frac{1}{2}|$. Сравним $\cos 7$ с $1/2$. Мы знаем, что $\cos(\pi/3) = 1/2$, где $\pi/3 \approx 1.047$. Ранее мы нашли, что $\cos 7 \approx \cos(0.72)$. Так как $0 < 0.72 < \pi/3$, и косинус убывает на этом интервале, то $\cos(0.72) > \cos(\pi/3)$. Значит, $\cos 7 > 1/2$, и выражение равно $\cos 7 - \frac{1}{2}$.

3. Третий радикал: $\sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} = \sqrt{(1 - \cos 6)^2} = |1 - \cos 6|$. Так как $\cos x \leq 1$ для любого $x$ и $6 \neq 2k\pi$, то $\cos 6 < 1$. Значит, $1 - \cos 6 > 0$, и выражение равно $1 - \cos 6$.

Суммируя результаты, получаем: $(\cos 6 - \cos 7) + (\cos 7 - \frac{1}{2}) + (1 - \cos 6) = \cos 6 - \cos 7 + \cos 7 - \frac{1}{2} + 1 - \cos 6 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.