Номер 6.45, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.45, страница 21.

6.45 a) $ \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

В) $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

Г) $ \cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

а) Для решения неравенства $sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ обратимся к тригонометрической окружности. Синус угла $t$ – это ордината точки на окружности. Сначала найдем решения уравнения $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим значениям соответствуют углы $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{4}$. Нам нужны такие значения $t$, при которых ордината точки на окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной выше горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $-\frac{\pi}{4}$ до точки $\frac{5\pi}{4}$, мы получаем искомый интервал. С учетом периодичности функции синус ($T = 2\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус угла $t$ – это абсцисса точки на тригонометрической окружности. Найдем решения уравнения $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $t_1 = -\frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{6}$. Нам нужны значения $t$, при которых абсцисса точки на окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $-\frac{5\pi}{6}$ до точки $\frac{5\pi}{6}$, получаем нужный интервал. С учетом периода функции косинус ($T = 2\pi$), общее решение:
Ответ: $t \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Как и в пункте а), граничные точки, где $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют углам $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{4}$. Нам нужны значения $t$, при которых ордината точки на окружности меньше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной ниже горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{5\pi}{4}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Таким образом, основной интервал решений: $\frac{5\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение:
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Как и в пункте б), граничные точки, где $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют углам $t_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{7\pi}{6}$. Нам нужны значения $t$, при которых абсцисса точки на окружности меньше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивается в точке $\frac{7\pi}{6}$. С учетом периодичности функции косинус, общее решение:
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.