Номер 6.41, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.41, страница 20.

6.41 a) $sin 2$, $sin 3$, $cos 4$, $cos 5$;

б) $cos 3$, $cos 4$, $cos 6$, $cos 7$;

В) $sin 3$, $sin 4$, $sin 6$, $sin 7$;

Г) $cos 2$, $cos 3$, $sin 4$, $sin 5$.

а) Расположим в порядке возрастания числа $\sin 2, \sin 3, \cos 4, \cos 5$.

Для определения знаков и сравнения значений тригонометрических функций воспользуемся единичной окружностью и приближенными значениями: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $\sin 2 > 0$.

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $\sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Здесь косинус отрицателен: $\cos 4 < 0$.

Угол 5 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Здесь косинус положителен: $\cos 5 > 0$.

Таким образом, $\cos 4$ — единственное отрицательное число, следовательно, оно наименьшее.

2. Сравним положительные числа: $\sin 2, \sin 3, \cos 5$.

Сравним $\sin 2$ и $\sin 3$. В II четверти функция $y = \sin x$ убывает. Так как $2 < 3$, то $\sin 2 > \sin 3$.

Сравним $\sin 3$ и $\cos 5$. Приведем их к значениям функций в I четверти.$\sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $\pi - 3 \approx 0.1416$.$\cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Так как $2\pi \approx 6.2832$, то $2\pi - 5 \approx 1.2832$.Нам нужно сравнить $\sin(\pi-3)$ и $\cos(5)$. Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.$\cos 5 = \sin(\frac{\pi}{2} - 5)$. Это угол не в I четверти. Воспользуемся другой формулой $\cos x = \sin(x - \frac{3\pi}{2})$ для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.$\cos 5 = \sin(5 - \frac{3\pi}{2}) \approx \sin(5 - 4.7124) \approx \sin(0.2876)$.Теперь сравним $\sin(\pi - 3) \approx \sin(0.1416)$ и $\sin(5 - \frac{3\pi}{2}) \approx \sin(0.2876)$.В I четверти синус возрастает. Так как $0.1416 < 0.2876$, то $\sin(0.1416) < \sin(0.2876)$, следовательно $\sin 3 < \cos 5$.

Теперь сравним $\sin 2$ и $\cos 5$.$\sin 2 = \sin(\pi - 2) \approx \sin(3.1416 - 2) = \sin(1.1416)$.$\cos 5 \approx \sin(0.2876)$.В I четверти синус возрастает. Так как $1.1416 > 0.2876$, то $\sin(1.1416) > \sin(0.2876)$, следовательно $\sin 2 > \cos 5$.

3. Собираем все вместе:

$\cos 4 < 0$ и $0 < \sin 3 < \cos 5 < \sin 2$.

Итоговый порядок: $\cos 4, \sin 3, \cos 5, \sin 2$.

Ответ: $\cos 4, \sin 3, \cos 5, \sin 2$.

б) Расположим в порядке возрастания числа $\cos 3, \cos 4, \cos 6, \cos 7$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Косинус отрицателен: $\cos 4 < 0$.

Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, это IV четверть. Косинус положителен: $\cos 6 > 0$.

Угол 7 радиан: $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, это I четверть. Косинус положителен: $\cos 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $\cos 3$ и $\cos 4$.

На промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ достигает своего минимума, равного -1, в точке $x = \pi$. Чем ближе аргумент к $\pi$, тем меньше значение косинуса.Сравним расстояния от 3 и 4 до $\pi$:$|\pi - 3| \approx |3.1416 - 3| = 0.1416$.$|4 - \pi| \approx |4 - 3.1416| = 0.8584$.Поскольку $0.1416 < 0.8584$, угол 3 ближе к $\pi$, чем угол 4. Следовательно, $\cos 3 < \cos 4$.

3. Сравним положительные числа: $\cos 6$ и $\cos 7$.

Приведем их к значениям функции в I четверти.$\cos 6 = \cos(2\pi - 6) \approx \cos(6.2832 - 6) = \cos(0.2832)$.$\cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6.2832) = \cos(0.7168)$.Нам нужно сравнить $\cos(0.2832)$ и $\cos(0.7168)$. В I четверти функция $y = \cos x$ убывает. Так как $0.2832 < 0.7168$, то $\cos(0.2832) > \cos(0.7168)$, следовательно $\cos 6 > \cos 7$.

4. Собираем все вместе:

$\cos 3 < \cos 4 < 0 < \cos 7 < \cos 6$.

Итоговый порядок: $\cos 3, \cos 4, \cos 7, \cos 6$.

Ответ: $\cos 3, \cos 4, \cos 7, \cos 6$.

в) Расположим в порядке возрастания числа $\sin 3, \sin 4, \sin 6, \sin 7$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Синус положителен: $\sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Синус отрицателен: $\sin 4 < 0$.

Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, это IV четверть. Синус отрицателен: $\sin 6 < 0$.

Угол 7 радиан: $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, это I четверть. Синус положителен: $\sin 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $\sin 4$ и $\sin 6$.

Приведем их к значениям функции в I четверти, учитывая знак.$\sin 4 = -\sin(4 - \pi) \approx -\sin(0.8584)$.$\sin 6 = -\sin(2\pi - 6) \approx -\sin(0.2832)$.В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $0.2832 < 0.8584$, то $\sin(0.2832) < \sin(0.8584)$.Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-\sin(0.2832) > -\sin(0.8584)$.Следовательно, $\sin 6 > \sin 4$.

3. Сравним положительные числа: $\sin 3$ и $\sin 7$.

Приведем их к значениям функции в I четверти.$\sin 3 = \sin(\pi - 3) \approx \sin(0.1416)$.$\sin 7 = \sin(7 - 2\pi) \approx \sin(0.7168)$.В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $0.1416 < 0.7168$, то $\sin(0.1416) < \sin(0.7168)$.Следовательно, $\sin 3 < \sin 7$.

4. Собираем все вместе:

$\sin 4 < \sin 6 < 0 < \sin 3 < \sin 7$.

Итоговый порядок: $\sin 4, \sin 6, \sin 3, \sin 7$.

Ответ: $\sin 4, \sin 6, \sin 3, \sin 7$.

г) Расположим в порядке возрастания числа $\cos 2, \cos 3, \sin 4, \sin 5$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$.

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Синус отрицателен: $\sin 4 < 0$.

Угол 5 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Синус отрицателен: $\sin 5 < 0$.

Все четыре числа отрицательны. Чтобы их сравнить, сравним их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

2. Найдем модули чисел и приведем их к значениям функций от углов в I четверти:

$|\cos 2| = |-\cos(\pi - 2)| = \cos(\pi - 2) \approx \cos(1.1416)$.

$|\cos 3| = |-\cos(\pi - 3)| = \cos(\pi - 3) \approx \cos(0.1416)$.

$|\sin 4| = |-\sin(4 - \pi)| = \sin(4 - \pi) \approx \sin(0.8584)$.

$|\sin 5| = |-\sin(2\pi - 5)| = \sin(2\pi - 5) \approx \sin(1.2832)$.

3. Сравним модули. Для этого приведем все значения к одной функции, например, к синусу, используя формулу $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\cos(1.1416) = \sin(\frac{\pi}{2} - 1.1416) \approx \sin(1.5708 - 1.1416) = \sin(0.4292)$.

$\cos(0.1416) = \sin(\frac{\pi}{2} - 0.1416) \approx \sin(1.5708 - 0.1416) = \sin(1.4292)$.

Теперь нам нужно сравнить четыре значения синуса от углов в I четверти: $\sin(0.4292)$, $\sin(1.4292)$, $\sin(0.8584)$, $\sin(1.2832)$.

В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Сравним аргументы: $0.4292 < 0.8584 < 1.2832 < 1.4292$.

Следовательно, $\sin(0.4292) < \sin(0.8584) < \sin(1.2832) < \sin(1.4292)$.

Возвращаясь к модулям исходных чисел, получаем:$|\cos 2| < |\sin 4| < |\sin 5| < |\cos 3|$.

4. Так как все числа отрицательные, порядок для них будет обратным порядку их модулей:$\cos 3 < \sin 5 < \sin 4 < \cos 2$.

Ответ: $\cos 3, \sin 5, \sin 4, \cos 2$.