Номер 6.34, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.34, страница 20.

6.34 Сравните числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \sin \frac{7\pi}{10}$, $b = \sin \frac{5\pi}{6}$;

б) $a = \cos 2$, $b = \sin 2$;

В) $a = \cos \frac{\pi}{8}$, $b = \cos \frac{\pi}{3}$;

Г) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$.

а) Чтобы сравнить $a = \sin \frac{7\pi}{10}$ и $b = \sin \frac{5\pi}{6}$, воспользуемся свойствами функции синус и приведем углы к первой четверти с помощью формулы приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$.

Для числа $a$: $a = \sin \frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin \frac{3\pi}{10}$.

Для числа $b$: $b = \sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin \frac{3\pi}{10}$ и $\sin \frac{\pi}{6}$. Оба угла, $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{6}$, находятся в первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), где функция синус возрастает. Это означает, что большему углу соответствует большее значение синуса.

Сравним углы $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{3\pi}{10} = \frac{9\pi}{30}$

$\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{30}$

Так как $\frac{9\pi}{30} > \frac{5\pi}{30}$, то $\frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{6}$.

Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $\frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{6}$ следует, что $\sin \frac{3\pi}{10} > \sin \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Нужно сравнить $a = \cos 2$ и $b = \sin 2$.

Оценим величину угла в 2 радиана. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$

$\pi \approx 3.14159$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, а синус — положительные.

Таким образом, $a = \cos 2 < 0$, а $b = \sin 2 > 0$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \cos \frac{\pi}{8}$ и $b = \cos \frac{\pi}{3}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{3}$, находятся в первой координатной четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$).

В первой четверти функция косинус убывает. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса.

Сравним углы $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $8 > 3$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3}$.

Так как функция косинус убывает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, из неравенства $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sin 1$ и $b = \cos 1$.

Рассмотрим угол в 1 радиан. Сравним его с углом $\frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Так как $1 > 0.785$, то $1 > \frac{\pi}{4}$.

Также известно, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, поэтому угол в 1 радиан находится в первой четверти, в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ значения синуса больше значений косинуса, то есть $\sin x > \cos x$ для $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

Поскольку $1 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, то $\sin 1 > \cos 1$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.