Номер 6.33, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.33, страница 19.

6.33 Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$;

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$;

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$?

Выражение $\sqrt{A}$ имеет смысл (определено в области действительных чисел) тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$

Выражение имеет смысл, если $\sin 10,2\pi \ge 0$.
Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$\sin 10,2\pi = \sin(10\pi + 0,2\pi) = \sin(5 \cdot 2\pi + 0,2\pi) = \sin 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, так как $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0,2 < 0,5$).
Синус в первой четверти положителен, следовательно, $\sin 0,2\pi > 0$.
Значит, $\sin 10,2\pi > 0$, и выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$

Выражение имеет смысл, если $\cos 1,3\pi \ge 0$.
Определим, в какой четверти находится угол $1,3\pi$.
Сравним $1,3\pi$ с граничными значениями четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Так как $\pi < 1,3\pi < \frac{3\pi}{2}$, угол $1,3\pi$ находится в третьей четверти.
Косинус в третьей четверти отрицателен, следовательно, $\cos 1,3\pi < 0$.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$

Выражение имеет смысл, если $\sin (-3,4\pi) \ge 0$.
Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin (-3,4\pi) = -\sin(3,4\pi)$.
Теперь используем периодичность синуса:
$\sin(3,4\pi) = \sin(2\pi + 1,4\pi) = \sin(1,4\pi)$.
Таким образом, нам нужно определить знак выражения $-\sin(1,4\pi)$.
Определим, в какой четверти находится угол $1,4\pi$.
Так как $\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$ (поскольку $1 < 1,4 < 1,5$), угол $1,4\pi$ находится в третьей четверти.
Синус в третьей четверти отрицателен: $\sin(1,4\pi) < 0$.
Следовательно, $-\sin(1,4\pi) > 0$.
Значит, $\sin(-3,4\pi) > 0$, и выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$

Выражение имеет смысл, если $\cos (-6,9\pi) \ge 0$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos (-6,9\pi) = \cos(6,9\pi)$.
Теперь используем периодичность косинуса (период $2\pi$):
$\cos(6,9\pi) = \cos(6\pi + 0,9\pi) = \cos(3 \cdot 2\pi + 0,9\pi) = \cos(0,9\pi)$.
Определим, в какой четверти находится угол $0,9\pi$.
Сравним $0,9\pi$ с граничными значениями четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi$.
Так как $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$, угол $0,9\pi$ находится во второй четверти.
Косинус во второй четверти отрицателен, следовательно, $\cos 0,9\pi < 0$.
Значит, $\cos(-6,9\pi) < 0$, и выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.