Номер 6.29, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.29, страница 19.

6.29 а) $ \tg 2,5 \cdot \ctg 2,5 + \cos^2 \pi - \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}; $

б) $ \sin^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \tg 1 \cdot \ctg 1 + \cos^2 \left(-\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}. $

а) $\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 + \text{cos}^2 \pi - \text{sin}^2 \frac{\pi}{8} - \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}$

Для решения данного примера воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
В нашем случае $\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 = 1$.
2. Значение косинуса угла $\pi$ равно -1: $\text{cos } \pi = -1$.
Следовательно, $\text{cos}^2 \pi = (-1)^2 = 1$.
3. Вынесем знак минус за скобки в последних двух слагаемых: $- \text{sin}^2 \frac{\pi}{8} - \text{cos}^2 \frac{\pi}{8} = -(\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8})$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $\text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1$.
Применяя это тождество, получаем: $-(\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}) = -1$.
4. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 + \text{cos}^2 \pi - (\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}) = 1 + 1 - 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7}) + \text{sin}^2 \frac{5\pi}{2}$

Упростим выражение по частям, используя тригонометрические свойства и тождества.
1. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7})$.
Функция косинуса является четной, то есть $\text{cos}(- \alpha) = \text{cos } \alpha$. Поэтому $\text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7}) = (\text{cos} (-\frac{3\pi}{7}))^2 = (\text{cos} \frac{3\pi}{7})^2 = \text{cos}^2 \frac{3\pi}{7}$.
Теперь сумма принимает вид: $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 \frac{3\pi}{7}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1$, эта сумма равна 1.
2. Рассмотрим второе слагаемое: $- 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1$.
Так как $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$, то $\text{tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 = 1$.
Следовательно, $- 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 = -2 \cdot 1 = -2$.
3. Вычислим последнее слагаемое: $\text{sin}^2 \frac{5\pi}{2}$.
Найдем значение $\text{sin} \frac{5\pi}{2}$. Учитывая периодичность синуса ($2\pi$), представим угол $\frac{5\pi}{2}$ как $\frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Тогда $\text{sin} \frac{5\pi}{2} = \text{sin}(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{sin} \frac{\pi}{2} = 1$.
Таким образом, $\text{sin}^2 \frac{5\pi}{2} = 1^2 = 1$.
4. Соберем все части вместе:
$(\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7})) - 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 + \text{sin}^2 \frac{5\pi}{2} = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: 0