Номер 6.24, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.24, страница 18.

6.24 a) $sin 1 \cdot cos 2;$

Б) $sin \frac{\pi}{7} \cdot cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right);$

В) $cos 2 \cdot sin (-3);$

Г) $cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right).$

а) Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму используем формулу: $ \sin\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = 1 $ и $ \beta = 2 $. Подставим значения в формулу: $ \sin 1 \cdot \cos 2 = \frac{1}{2}(\sin(1+2) + \sin(1-2)) = \frac{1}{2}(\sin 3 + \sin(-1)) $. Так как синус является нечетной функцией, $ \sin(-x) = -\sin x $, то $ \sin(-1) = -\sin 1 $. Следовательно, получаем: $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 3 - \sin 1) $.

б) Сначала воспользуемся свойством четности косинуса: $ \cos(-x) = \cos x $. Таким образом, $ \cos(-\frac{7\pi}{5}) = \cos(\frac{7\pi}{5}) $. Выражение принимает вид: $ \sin\frac{\pi}{7} \cdot \cos\frac{7\pi}{5} $. Применяем формулу преобразования произведения в сумму: $ \sin\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{5} $. Найдем сумму и разность углов: $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{7} + \frac{7\pi}{5} = \frac{5\pi + 49\pi}{35} = \frac{54\pi}{35} $. $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{7} - \frac{7\pi}{5} = \frac{5\pi - 49\pi}{35} = -\frac{44\pi}{35} $. Подставляем в формулу: $ \sin\frac{\pi}{7} \cdot \cos\frac{7\pi}{5} = \frac{1}{2}(\sin(\frac{54\pi}{35}) + \sin(-\frac{44\pi}{35})) $. Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем: $ \frac{1}{2}(\sin\frac{54\pi}{35} - \sin\frac{44\pi}{35}) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin\frac{54\pi}{35} - \sin\frac{44\pi}{35}) $.

в) Воспользуемся свойством нечетности синуса: $ \sin(-x) = -\sin x $. Тогда $ \sin(-3) = -\sin 3 $. Выражение становится: $ \cos 2 \cdot (-\sin 3) = -\cos 2 \cdot \sin 3 $. Применим формулу преобразования произведения косинуса на синус в разность синусов: $ \cos\alpha \cdot \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. В нашем случае $ \alpha = 2 $ и $ \beta = 3 $. $ -\cos 2 \cdot \sin 3 = -\left[\frac{1}{2}(\sin(2+3) - \sin(2-3))\right] = -\frac{1}{2}(\sin 5 - \sin(-1)) $. Так как $ \sin(-1) = -\sin 1 $, то: $ -\frac{1}{2}(\sin 5 - (-\sin 1)) = -\frac{1}{2}(\sin 5 + \sin 1) $.

Ответ: $ -\frac{1}{2}(\sin 5 + \sin 1) $.

г) Используем свойства четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $) и нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin x $). $ \cos(-\frac{14\pi}{9}) = \cos(\frac{14\pi}{9}) $. $ \sin(-\frac{4\pi}{9}) = -\sin(\frac{4\pi}{9}) $. Выражение принимает вид: $ \cos(\frac{14\pi}{9}) \cdot (-\sin(\frac{4\pi}{9})) = -\cos(\frac{14\pi}{9}) \sin(\frac{4\pi}{9}) $. Применяем формулу $ \cos\alpha \cdot \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = \frac{14\pi}{9} $ и $ \beta = \frac{4\pi}{9} $. $ \alpha + \beta = \frac{14\pi}{9} + \frac{4\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi $. $ \alpha - \beta = \frac{14\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} = \frac{10\pi}{9} $. Подставляем в формулу: $ -\cos(\frac{14\pi}{9}) \sin(\frac{4\pi}{9}) = -\frac{1}{2}(\sin(2\pi) - \sin(\frac{10\pi}{9})) $. Зная, что $ \sin(2\pi) = 0 $, получаем: $ -\frac{1}{2}(0 - \sin(\frac{10\pi}{9})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{10\pi}{9}) $. Можно упростить дальше, используя формулу приведения: $ \sin(\frac{10\pi}{9}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{9}) = -\sin(\frac{\pi}{9}) $. Тогда окончательный результат: $ \frac{1}{2}(-\sin(\frac{\pi}{9})) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{9}) $.

Ответ: $ -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{9}) $.