Номер 6.19, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.19, страница 18.

6.19 Укажите все значения t, при которых не имеет смысла выражение:

а) $\frac{\sin t - 1}{\cos t}$;

б) $\frac{\cos t + 5}{2 \sin t - \sqrt{3}} $;

в) $\frac{\cos t}{3 - 3 \sin t}$;

г) $\frac{\sin t}{10 - 20 \cos t}$.

Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Чтобы найти значения $t$, при которых выражения не имеют смысла, нужно приравнять знаменатели к нулю и решить полученные тригонометрические уравнения.

а) $\frac{\sin t - 1}{\cos t}$

Выражение не имеет смысла, если знаменатель $\cos t = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{\cos t + 5}{2 \sin t - \sqrt{3}}$

Выражение не имеет смысла, если знаменатель $2 \sin t - \sqrt{3} = 0$.

Решим это уравнение:

$2 \sin t = \sqrt{3}$

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для этого уравнения имеет вид:

$t = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{\cos t}{3 - 3 \sin t}$

Выражение не имеет смысла, если знаменатель $3 - 3 \sin t = 0$.

Решим это уравнение:

$3 = 3 \sin t$

$\sin t = 1$

Это частный случай, решением которого является:

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\frac{\sin t}{10 - 20 \cos t}$

Выражение не имеет смысла, если знаменатель $10 - 20 \cos t = 0$.

Решим это уравнение:

$10 = 20 \cos t$

$\cos t = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Общее решение для этого уравнения имеет вид:

$t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.