Номер 6.15, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.15, страница 18.

6.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:

a) $2\sin t$;

б) $3 + 4\cos t$;

в) $-3\cos t$;

г) $3 - 5\sin t$.

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражения $2\sin t$ воспользуемся свойством ограниченности функции синус.

Известно, что для любого значения $t$ выполняется двойное неравенство:$-1 \le \sin t \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:$2 \cdot (-1) \le 2 \cdot \sin t \le 2 \cdot 1$.

Выполнив умножение, получаем:$-2 \le 2\sin t \le 2$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2 (достигается, когда $\sin t = -1$), а наибольшее значение равно 2 (достигается, когда $\sin t = 1$).

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 2.

б) Рассмотрим выражение $3 + 4\cos t$. Воспользуемся свойством ограниченности функции косинус.

Для любого значения $t$ справедливо неравенство:$-1 \le \cos t \le 1$.

Сначала умножим все части неравенства на 4. Так как $4 > 0$, знаки неравенства сохраняются:$4 \cdot (-1) \le 4 \cdot \cos t \le 4 \cdot 1$,что равносильно$-4 \le 4\cos t \le 4$.

Теперь прибавим ко всем частям неравенства число 3:$3 + (-4) \le 3 + 4\cos t \le 3 + 4$.

Упростив, получаем:$-1 \le 3 + 4\cos t \le 7$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее — 7.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 7.

в) Найдем область значений для выражения $-3\cos t$.

Начнем с базового неравенства для косинуса:$-1 \le \cos t \le 1$.

Умножим все части неравенства на отрицательное число -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$(-3) \cdot (-1) \ge (-3) \cdot \cos t \ge (-3) \cdot 1$.

Выполним вычисления:$3 \ge -3\cos t \ge -3$.

Запишем это неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:$-3 \le -3\cos t \le 3$.

Отсюда следует, что наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее равно 3.

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 3.

г) Рассмотрим выражение $3 - 5\sin t$.

Исходное неравенство для функции синус:$-1 \le \sin t \le 1$.

Сначала найдем область значений для $-5\sin t$. Умножим все части неравенства на -5. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:$(-5) \cdot (-1) \ge (-5) \cdot \sin t \ge (-5) \cdot 1$.

После умножения получаем:$5 \ge -5\sin t \ge -5$.

Перепишем в стандартном виде:$-5 \le -5\sin t \le 5$.

Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число 3:$3 + (-5) \le 3 - 5\sin t \le 3 + 5$.

Упростив, находим окончательный диапазон значений:$-2 \le 3 - 5\sin t \le 8$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 8.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 8.