Номер 6.18, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.18, страница 18.

6.18 а) $\sin t + 1 = 0;$

б) $\cos t - 1 = 0;$

в) $1 - 2\sin t = 0;$

г) $2\cos t - 1 = 0.$

а) $sin t + 1 = 0$

Для решения данного уравнения необходимо выразить $sin t$. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$sin t = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решением является серия точек на единичной окружности, где ордината равна -1. Такая точка одна, и она соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность синуса, общее решение записывается так:

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos t - 1 = 0$

Выразим $cos t$, перенеся -1 в правую часть уравнения:

$cos t = 1$

Это также частный случай. Решением является серия точек, где абсцисса на единичной окружности равна 1. Эта точка соответствует углу 0. Учитывая периодичность косинуса, общее решение имеет вид:

$t = 0 + 2\pi k$, или просто $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $1 - 2sin t = 0$

Сначала выразим $sin t$. Перенесем 1 вправо:

$-2sin t = -1$

Теперь разделим обе части на -2:

$sin t = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения $sin t = a$ используется общая формула: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, а $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2cos t - 1 = 0$

Выразим $cos t$ из уравнения. Сначала перенесем -1 вправо:

$2cos t = 1$

Разделим обе части на 2:

$cos t = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения $cos t = a$ используется общая формула: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, а $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.