Номер 6.20, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.20, страница 18.

Определите знак числа:

6.20 а) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$;

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right)$.

а) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{4\pi}{7}$, необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha = \frac{4\pi}{7}$ на тригонометрической окружности. Сравним значение угла с границами четвертей. Первая четверть от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, вторая — от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Так как выполняется неравенство $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$, угол находится во второй четверти. Функция синус (которая соответствует ординате точки на окружности) во второй четверти имеет положительные значения. Следовательно, $\sin\frac{4\pi}{7} > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

б) Чтобы определить знак числа $\cos(-\frac{5\pi}{7})$, воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{7}) = \cos(\frac{5\pi}{7})$. Теперь определим, в какой четверти находится угол $\alpha = \frac{5\pi}{7}$. Сравним его с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Из неравенства $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$ следует, что $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$. Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти. Функция косинус (которая соответствует абсциссе точки на окружности) во второй четверти имеет отрицательные значения. Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{7}) < 0$.
Ответ: знак минус (-).

в) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{9\pi}{8}$, найдем, в какой четверти находится угол $\alpha = \frac{9\pi}{8}$. Сравним этот угол с границами четвертей. Вторая четверть заканчивается на $\pi$, третья — от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\pi = \frac{8\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$. Так как выполняется неравенство $\frac{8\pi}{8} < \frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}$, то есть $\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в третьей четверти. Функция синус в третьей четверти имеет отрицательные значения. Следовательно, $\sin\frac{9\pi}{8} < 0$.
Ответ: знак минус (-).

г) Чтобы определить знак числа $\sin(-\frac{3\pi}{8})$, можно рассмотреть угол $\alpha = -\frac{3\pi}{8}$. Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке от положительного направления оси Ox. Четвертая четверть находится в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$. Сравним угол $-\frac{3\pi}{8}$ с $-\frac{\pi}{2}$. Приведем к общему знаменателю: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8}$. Поскольку $-\frac{4\pi}{8} < -\frac{3\pi}{8} < 0$, то есть $-\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{8} < 0$, угол находится в четвертой четверти. Функция синус в четвертой четверти имеет отрицательные значения. Также можно воспользоваться свойством нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Тогда $\sin(-\frac{3\pi}{8}) = -\sin(\frac{3\pi}{8})$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), где синус положителен. Значит, $-\sin(\frac{3\pi}{8})$ будет отрицательным. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{8}) < 0$.
Ответ: знак минус (-).