Номер 6.17, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.17, страница 18.

6.17 a) $sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $sin t = \sqrt{3};$

В) $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

Г) $cos t = -\frac{\pi}{3}.$

а) Решим уравнение $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арксинус этого значения: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Так как арксинус — нечетная функция, $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$t = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эту формулу можно записать как $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin t = \sqrt{3}$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $t$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin t \le 1$.

В данном уравнении требуется, чтобы синус был равен $\sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 1$.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) Решим уравнение $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решения уравнения $\cos t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арккосинус этого значения, используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos t = -\frac{\pi}{3}$.

Область значений функции косинус, как и у синуса, — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $t$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos t \le 1$.

В данном уравнении требуется, чтобы косинус был равен $-\frac{\pi}{3}$.

Приблизительное значение числа $\pi$ равно $3.14159$. Тогда $-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047$.

Так как $-1.047 < -1$, значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в область значений функции косинус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.