Номер 6.27, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.27, страница 19.

6.27 a) $ \cos 1 + \cos (1 + \pi) + \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \sin 2 + \sin (2 + \pi) + \cos^2 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}. $

а) Для упрощения выражения $cos 1 + cos(1 + \pi) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами.

1. Используем формулу приведения для косинуса: $cos(\alpha + \pi) = -cos(\alpha)$. Применительно к нашему выражению, это дает $cos(1 + \pi) = -cos(1)$.

2. Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Таким образом, $cos(-\frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$.

3. Подставим эти результаты в исходное выражение:

$cos 1 + (-cos 1) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

4. Упростим, сократив $cos 1$ и $-cos 1$:

$0 + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

5. Подставим известные табличные значения тригонометрических функций:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

6. Выполним сложение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б) Для упрощения выражения $sin 2 + sin(2 + \pi) + cos^2(-\frac{\pi}{12}) + sin^2\frac{\pi}{12}$ воспользуемся тригонометрическими свойствами и тождествами.

1. Используем формулу приведения для синуса: $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$. В нашем случае, $sin(2 + \pi) = -sin(2)$.

2. Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Следовательно, $cos^2(-\frac{\pi}{12}) = (cos(-\frac{\pi}{12}))^2 = (cos(\frac{\pi}{12}))^2 = cos^2(\frac{\pi}{12})$.

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$sin 2 + (-sin 2) + cos^2(\frac{\pi}{12}) + sin^2(\frac{\pi}{12})$

4. Сгруппируем слагаемые:

$(sin 2 - sin 2) + (sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}))$

5. Первые два слагаемых в сумме дают ноль. Для второй группы слагаемых применим основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}) = 1$

6. Таким образом, все выражение равно:

$0 + 1 = 1$

Ответ: $1$