Номер 6.40, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.40, страница 20.

Расположите в порядке возрастания числа:

6.40 a) $ \sin \frac{\pi}{7} $, $ \sin \frac{\pi}{5} $, $ \sin \frac{2\pi}{3} $, $ \sin \frac{7\pi}{6} $, $ \sin \frac{4\pi}{3} $;

б) $ \cos \frac{\pi}{8} $, $ \cos \frac{\pi}{3} $, $ \cos \frac{5\pi}{6} $, $ \cos \frac{5\pi}{4} $, $ \cos \frac{7\pi}{4} $.

а) Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, определим их значения или хотя бы знаки, а затем сравним их между собой. Для этого воспользуемся свойствами функции $y=\sin x$ и тригонометрическим кругом.
1. Сначала вычислим или упростим значения синусов, используя формулы приведения:
$ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ (положительное, II четверть).
$ \sin \frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $ (отрицательное, III четверть).
$ \sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ (отрицательное, III четверть).
Значения $ \sin \frac{\pi}{7} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $ являются положительными, так как углы $ \frac{\pi}{7} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти.
2. Сравним отрицательные числа. У нас есть два отрицательных значения: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{1}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $. Поскольку $ \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2} $, то $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{2} $. Следовательно, $ \sin \frac{4\pi}{3} < \sin \frac{7\pi}{6} $.
3. Сравним положительные числа. У нас есть три положительных значения: $ \sin \frac{\pi}{7} $, $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} $. На интервале $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \sin x $ возрастает, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса. Сравним углы: $ \frac{1}{7} < \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $, следовательно $ \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3} $. Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{\pi}{3} $, то есть $ \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{2\pi}{3} $.
4. Объединим все значения. Отрицательные числа меньше положительных. Собирая все неравенства, получаем итоговый порядок:
$ \sin \frac{4\pi}{3} < \sin \frac{7\pi}{6} < \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $ \sin \frac{4\pi}{3}, \sin \frac{7\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{7}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{2\pi}{3} $.

б) Действуем аналогично предыдущему пункту, используя свойства функции $y=\cos x$.
1. Определим знаки и значения:
$ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ (положительное, I четверть).
$ \cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ (отрицательное, II четверть).
$ \cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ (отрицательное, III четверть).
$ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ (положительное, IV четверть).
Значение $ \cos \frac{\pi}{8} $ является положительным, так как угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти.
2. Сравним отрицательные числа: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} > \sqrt{2} $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2} $, а значит $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, $ \cos \frac{5\pi}{6} < \cos \frac{5\pi}{4} $.
3. Сравним положительные числа: $ \cos \frac{\pi}{8} $, $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На интервале $ [0, \pi] $ функция $ \cos x $ убывает, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} $ (так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $). Поскольку функция убывающая, порядок значений будет обратным: $ \cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{4} > \cos \frac{\pi}{3} $. В порядке возрастания: $ \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $. Заменив $ \cos \frac{\pi}{4} $ на $ \cos \frac{7\pi}{4} $, получаем $ \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $.
4. Объединим все сравнения и получим итоговый ряд в порядке возрастания:
$ \cos \frac{5\pi}{6} < \cos \frac{5\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $.
Ответ: $ \cos \frac{5\pi}{6}, \cos \frac{5\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{7\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{8} $.