Номер 7.3, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §7. Тригонометрические функции числового аргумента - номер 7.3, страница 22.

Условие.

7.3 a) $ \frac{1}{\cos^2 t} - 1; $

б) $ \frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}; $

в) $ 1 - \frac{1}{\sin^2 t}; $

г) $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для упрощения выражения $\frac{1}{\cos^2 t} - 1$ приведем его к общему знаменателю $\cos^2 t$.
$\frac{1}{\cos^2 t} - 1 = \frac{1}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Подставим это в числитель нашего выражения:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
По определению тангенса $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$, следовательно, $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.
Ответ: $\tan^2 t$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из него получаем, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$.
При условии, что $\cos^2 t \neq 0$ (то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число), дробь равна 1.
Ответ: $1$.

в)

Для упрощения выражения $1 - \frac{1}{\sin^2 t}$ приведем его к общему знаменателю $\sin^2 t$.
$1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Отсюда следует, что $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$.
Подставим это в числитель нашего выражения:
$\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -(\frac{\cos t}{\sin t})^2$.
По определению котангенса $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, выражение равно $-\cot^2 t$.
Ответ: $-\cot^2 t$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ для преобразования числителя и знаменателя.
В числителе: $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
В знаменателе: $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Это выражение по определению является квадратом тангенса: $(\frac{\sin t}{\cos t})^2 = \tan^2 t$.
Ответ: $\tan^2 t$.