Номер 7.5, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.5, страница 22.

7.5 Докажите тождество:

a) $\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1;$

б) $\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1.$

а)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1 $, преобразуем его левую часть.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого выразим $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $.

Подставим это выражение в левую часть равенства:

$ \frac{1 - \sin^2 t}{1 - \sin t} - \sin t $

Числитель дроби представляет собой разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $. Применим эту формулу:

$ \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{1 - \sin t} - \sin t $

Сократим дробь на общий множитель $ (1 - \sin t) $. Это преобразование является тождественным при условии, что $ 1 - \sin t \neq 0 $, то есть $ \sin t \neq 1 $.

$ (1 + \sin t) - \sin t $

Теперь выполним вычитание:

$ 1 + \sin t - \sin t = 1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1 $, преобразуем его левую часть.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ выразим $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $.

Подставим полученное выражение в левую часть доказываемого равенства:

$ \frac{1 - \cos^2 t}{1 + \cos t} + \cos t $

В числителе дроби применим формулу разности квадратов:

$ \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{1 + \cos t} + \cos t $

Сократим дробь на $ (1 + \cos t) $. Преобразование допустимо при условии $ 1 + \cos t \neq 0 $, то есть $ \cos t \neq -1 $.

$ (1 - \cos t) + \cos t $

Выполним сложение:

$ 1 - \cos t + \cos t = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.