Номер 6.7, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.7, страница 17.

6.7 a) $\sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin \frac{\pi}{2};$

б) $\cos \frac{5\pi}{3} + \cos \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{3\pi}{2} \cdot \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{2}.$

а) Вычислим значение выражения $\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$ по частям.

1. Найдем значение $\sin(-\frac{3\pi}{4})$. Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$. $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4})$. Далее, используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем: $-\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем значение $\cos(-\frac{\pi}{4})$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$. $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим произведение $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2}$. Известно, что $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Следовательно, все произведение равно нулю: $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = 0$.

4. Вычислим произведение $\cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$. Известно, что $\cos0 = 1$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$: $\cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$.

5. Подставим все найденные значения в исходное выражение: $\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$ по частям.

1. Найдем значение $\cos\frac{5\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$: $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos\frac{4\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$: $\cos\frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

3. Рассмотрим третье слагаемое: $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$. Известно, что $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$. Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, все произведение равно нулю: $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$.

4. Подставим все найденные значения в исходное выражение: $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + 0 = 0$.

Ответ: 0