Номер 6.3, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс - номер 6.3, страница 16.

Условие.

6.3 a) $t = \frac{5\pi}{6};$

б) $t = \frac{5\pi}{4};$

В) $t = \frac{7\pi}{6};$

Г) $t = \frac{7\pi}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для угла $t = \frac{5\pi}{6}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится во второй координатной четверти единичной окружности, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$. Во второй четверти значения синуса положительны, а косинуса и тангенса — отрицательны. Для вычислений воспользуемся формулами приведения, представив угол $t$ через опорный угол $\frac{\pi}{6}$: $t = \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin(5\pi/6)}{\cos(5\pi/6)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для угла $t = \frac{5\pi}{4}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в третьей координатной четверти, так как $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$. В третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны, а тангенса — положительны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{4}$: $t = \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\sin(5\pi/4)}{\cos(5\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$.
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1$.

в) Для угла $t = \frac{7\pi}{6}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в третьей координатной четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$. В третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны, а тангенса — положительны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{6}$: $t = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\sin(7\pi/6)}{\cos(7\pi/6)} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для угла $t = \frac{7\pi}{4}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в четвертой координатной четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$. В четвертой четверти значения косинуса положительны, а синуса и тангенса — отрицательны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{4}$: $t = \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sin(7\pi/4)}{\cos(7\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$.
Ответ: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-1$.